Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sq3deccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq3deccom12 41776
Description: Variant of sqdeccom12 41775 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a ๐ด โˆˆ โ„•0
sqdeccom12.b ๐ต โˆˆ โ„•0
sq3deccom12.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
sq3deccom12.d (๐ด + ๐ถ) = ๐ท
Assertion
Ref Expression
sq3deccom12 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem sq3deccom12
StepHypRef Expression
1 sq3deccom12.c . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„•0
2 0nn0 12503 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„•0
3 sqdeccom12.a . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 sqdeccom12.b . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
5 eqid 2727 . . . . . 6 ๐ถ0 = ๐ถ0
6 eqid 2727 . . . . . 6 ๐ด๐ต = ๐ด๐ต
73nn0cni 12500 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
81nn0cni 12500 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‚
9 sq3deccom12.d . . . . . . 7 (๐ด + ๐ถ) = ๐ท
107, 8, 9addcomli 11422 . . . . . 6 (๐ถ + ๐ด) = ๐ท
114nn0cni 12500 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
1211addlidi 11418 . . . . . 6 (0 + ๐ต) = ๐ต
131, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12decadd 12747 . . . . 5 (๐ถ0 + ๐ด๐ต) = ๐ท๐ต
143, 4deccl 12708 . . . . . 6 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
1514nn0cni 12500 . . . . . . 7 ๐ด๐ต โˆˆ โ„‚
1615addlidi 11418 . . . . . 6 (0 + ๐ด๐ต) = ๐ด๐ต
171, 2, 14, 5, 16decaddi 12753 . . . . 5 (๐ถ0 + ๐ด๐ต) = ๐ถ๐ด๐ต
1813, 17eqtr3i 2757 . . . 4 ๐ท๐ต = ๐ถ๐ด๐ต
1918, 18oveq12i 7426 . . 3 (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต) = (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต)
2019oveq2i 7425 . 2 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต))
2114, 1sqdeccom12 41775 . 2 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))
2220, 21eqtri 2755 1 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  0cc0 11124   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  9c9 12290  โ„•0cn0 12488  cdc 12693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-sub 11462  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-dec 12694
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator