Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sq3deccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq3deccom12 40025
Description: Variant of sqdeccom12 40024 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
sq3deccom12 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12
StepHypRef Expression
1 sq3deccom12.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
2 0nn0 12105 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
3 sqdeccom12.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
4 sqdeccom12.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
5 eqid 2737 . . . . . 6 𝐶0 = 𝐶0
6 eqid 2737 . . . . . 6 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
73nn0cni 12102 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
81nn0cni 12102 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
9 sq3deccom12.d . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
107, 8, 9addcomli 11024 . . . . . 6 (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
114nn0cni 12102 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
1211addid2i 11020 . . . . . 6 (0 + 𝐵) = 𝐵
131, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12decadd 12347 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐷𝐵
143, 4deccl 12308 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 12102 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
1615addid2i 11020 . . . . . 6 (0 + 𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
171, 2, 14, 5, 16decaddi 12353 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐶𝐴𝐵
1813, 17eqtr3i 2767 . . . 4 𝐷𝐵 = 𝐶𝐴𝐵
1918, 18oveq12i 7225 . . 3 (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵) = (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)
2019oveq2i 7224 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵))
2114, 1sqdeccom12 40024 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
2220, 21eqtri 2765 1 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  9c9 11892  0cn0 12090  cdc 12293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-dec 12294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator