Theorem sq3deccom12 42863

Description: Variant of sqdeccom12 42862 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdeccom12.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sq3deccom12	⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3deccom12.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2		0nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		sqdeccom12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		sqdeccom12.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;𝐶0 = ;𝐶0
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
7	3	nn0cni 12490	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	1	nn0cni 12490	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9		sq3deccom12.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
10	7, 8, 9	addcomli 11372	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
11	4	nn0cni 12490	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	addlidi 11368	. . . . . 6 ⊢ (0 + 𝐵) = 𝐵
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12	decadd 12744	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐷𝐵
14	3, 4	deccl 12700	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12490	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
16	15	addlidi 11368	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐵
17	1, 2, 14, 5, 16	decaddi 12750	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐶;𝐴𝐵
18	13, 17	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ ;𝐷𝐵 = ;𝐶;𝐴𝐵
19	18, 18	oveq12i 7404	. . 3 ⊢ (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵) = (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)
20	19	oveq2i 7403	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵))
21	14, 1	sqdeccom12 42862	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
22	20, 21	eqtri 2784	1 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  0cc0 11070   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  9c9 12276  ℕ₀cn0 12478  ;cdc 12685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-dec 12686

This theorem is referenced by: (None)