Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sq3deccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq3deccom12 38162
Description: Variant of sqdeccom12 38161 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
sq3deccom12 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12
StepHypRef Expression
1 sq3deccom12.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
2 0nn0 11663 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
3 sqdeccom12.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
4 sqdeccom12.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
5 eqid 2778 . . . . . 6 𝐶0 = 𝐶0
6 eqid 2778 . . . . . 6 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
73nn0cni 11659 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
81nn0cni 11659 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
9 sq3deccom12.d . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
107, 8, 9addcomli 10570 . . . . . 6 (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
114nn0cni 11659 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
1211addid2i 10566 . . . . . 6 (0 + 𝐵) = 𝐵
131, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12decadd 11904 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐷𝐵
143, 4deccl 11864 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11659 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
1615addid2i 10566 . . . . . 6 (0 + 𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
171, 2, 14, 5, 16decaddi 11910 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐶𝐴𝐵
1813, 17eqtr3i 2804 . . . 4 𝐷𝐵 = 𝐶𝐴𝐵
1918, 18oveq12i 6936 . . 3 (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵) = (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)
2019oveq2i 6935 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵))
2114, 1sqdeccom12 38161 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
2220, 21eqtri 2802 1 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  (class class class)co 6924  0cc0 10274   + caddc 10277   · cmul 10279  cmin 10608  9c9 11441  0cn0 11646  cdc 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-dec 11850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator