Theorem sq3deccom12 40318

Description: Variant of sqdeccom12 40317 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdeccom12.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sq3deccom12	⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3deccom12.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2		0nn0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		sqdeccom12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		sqdeccom12.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;𝐶0 = ;𝐶0
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
7	3	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	1	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9		sq3deccom12.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
10	7, 8, 9	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
11	4	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 𝐵) = 𝐵
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12	decadd 12491	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐷𝐵
14	3, 4	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
16	15	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐵
17	1, 2, 14, 5, 16	decaddi 12497	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐶;𝐴𝐵
18	13, 17	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ;𝐷𝐵 = ;𝐶;𝐴𝐵
19	18, 18	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵) = (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)
20	19	oveq2i 7286	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵))
21	14, 1	sqdeccom12 40317	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
22	20, 21	eqtri 2766	1 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438

This theorem is referenced by: (None)