Theorem sq3deccom12 42408

Description: Variant of sqdeccom12 42407 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdeccom12.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sq3deccom12	⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3deccom12.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2		0nn0 12403	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		sqdeccom12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		sqdeccom12.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;𝐶0 = ;𝐶0
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
7	3	nn0cni 12400	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	1	nn0cni 12400	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9		sq3deccom12.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
10	7, 8, 9	addcomli 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
11	4	nn0cni 12400	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	addlidi 11308	. . . . . 6 ⊢ (0 + 𝐵) = 𝐵
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12	decadd 12648	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐷𝐵
14	3, 4	deccl 12609	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12400	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
16	15	addlidi 11308	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐵
17	1, 2, 14, 5, 16	decaddi 12654	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐶;𝐴𝐵
18	13, 17	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ ;𝐷𝐵 = ;𝐶;𝐴𝐵
19	18, 18	oveq12i 7364	. . 3 ⊢ (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵) = (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)
20	19	oveq2i 7363	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵))
21	14, 1	sqdeccom12 42407	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
22	20, 21	eqtri 2756	1 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  0cc0 11013   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  9c9 12194  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-dec 12595

This theorem is referenced by: (None)