Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sq3deccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq3deccom12 40833
Description: Variant of sqdeccom12 40832 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a ๐ด โˆˆ โ„•0
sqdeccom12.b ๐ต โˆˆ โ„•0
sq3deccom12.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
sq3deccom12.d (๐ด + ๐ถ) = ๐ท
Assertion
Ref Expression
sq3deccom12 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem sq3deccom12
StepHypRef Expression
1 sq3deccom12.c . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„•0
2 0nn0 12435 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„•0
3 sqdeccom12.a . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 sqdeccom12.b . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
5 eqid 2737 . . . . . 6 ๐ถ0 = ๐ถ0
6 eqid 2737 . . . . . 6 ๐ด๐ต = ๐ด๐ต
73nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
81nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‚
9 sq3deccom12.d . . . . . . 7 (๐ด + ๐ถ) = ๐ท
107, 8, 9addcomli 11354 . . . . . 6 (๐ถ + ๐ด) = ๐ท
114nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
1211addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + ๐ต) = ๐ต
131, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12decadd 12679 . . . . 5 (๐ถ0 + ๐ด๐ต) = ๐ท๐ต
143, 4deccl 12640 . . . . . 6 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
1514nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ด๐ต โˆˆ โ„‚
1615addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + ๐ด๐ต) = ๐ด๐ต
171, 2, 14, 5, 16decaddi 12685 . . . . 5 (๐ถ0 + ๐ด๐ต) = ๐ถ๐ด๐ต
1813, 17eqtr3i 2767 . . . 4 ๐ท๐ต = ๐ถ๐ด๐ต
1918, 18oveq12i 7374 . . 3 (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต) = (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต)
2019oveq2i 7373 . 2 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต))
2114, 1sqdeccom12 40832 . 2 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ถ๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ด๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))
2220, 21eqtri 2765 1 ((๐ด๐ต๐ถ ยท ๐ด๐ต๐ถ) โˆ’ (๐ท๐ต ยท ๐ท๐ต)) = (99 ยท ((๐ด๐ต ยท ๐ด๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  9c9 12222  โ„•0cn0 12420  cdc 12625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator