Theorem sq3deccom12 42736

Description: Variant of sqdeccom12 42735 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdeccom12.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sq3deccom12	⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3deccom12.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2		0nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		sqdeccom12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		sqdeccom12.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;𝐶0 = ;𝐶0
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
7	3	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	1	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9		sq3deccom12.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
10	7, 8, 9	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
11	4	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	addlidi 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 + 𝐵) = 𝐵
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12	decadd 12689	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐷𝐵
14	3, 4	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
16	15	addlidi 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐵
17	1, 2, 14, 5, 16	decaddi 12695	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐶;𝐴𝐵
18	13, 17	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ;𝐷𝐵 = ;𝐶;𝐴𝐵
19	18, 18	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵) = (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)
20	19	oveq2i 7371	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵))
21	14, 1	sqdeccom12 42735	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
22	20, 21	eqtri 2760	1 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636

This theorem is referenced by: (None)