Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sq3deccom12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq3deccom12 41152
Description: Variant of sqdeccom12 41151 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdeccom12.a 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
sq3deccom12 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12
StepHypRef Expression
1 sq3deccom12.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
2 0nn0 12483 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
3 sqdeccom12.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
4 sqdeccom12.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
5 eqid 2733 . . . . . 6 𝐶0 = 𝐶0
6 eqid 2733 . . . . . 6 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
73nn0cni 12480 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
81nn0cni 12480 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
9 sq3deccom12.d . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
107, 8, 9addcomli 11402 . . . . . 6 (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
114nn0cni 12480 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
1211addlidi 11398 . . . . . 6 (0 + 𝐵) = 𝐵
131, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12decadd 12727 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐷𝐵
143, 4deccl 12688 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 12480 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
1615addlidi 11398 . . . . . 6 (0 + 𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
171, 2, 14, 5, 16decaddi 12733 . . . . 5 (𝐶0 + 𝐴𝐵) = 𝐶𝐴𝐵
1813, 17eqtr3i 2763 . . . 4 𝐷𝐵 = 𝐶𝐴𝐵
1918, 18oveq12i 7416 . . 3 (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵) = (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)
2019oveq2i 7415 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵))
2114, 1sqdeccom12 41151 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐶𝐴𝐵 · 𝐶𝐴𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
2220, 21eqtri 2761 1 ((𝐴𝐵𝐶 · 𝐴𝐵𝐶) − (𝐷𝐵 · 𝐷𝐵)) = (99 · ((𝐴𝐵 · 𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  9c9 12270  0cn0 12468  cdc 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-dec 12674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator