Theorem sq3deccom12 42263

Description: Variant of sqdeccom12 42262 with a three digit square. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqdeccom12.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqdeccom12.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
sq3deccom12.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
sq3deccom12.d	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sq3deccom12	⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem sq3deccom12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3deccom12.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2		0nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		sqdeccom12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		sqdeccom12.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;𝐶0 = ;𝐶0
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
7	3	nn0cni 12414	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	1	nn0cni 12414	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9		sq3deccom12.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐷
10	7, 8, 9	addcomli 11326	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 + 𝐴) = 𝐷
11	4	nn0cni 12414	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	11	addlidi 11322	. . . . . 6 ⊢ (0 + 𝐵) = 𝐵
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12	decadd 12663	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐷𝐵
14	3, 4	deccl 12624	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12414	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
16	15	addlidi 11322	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐵
17	1, 2, 14, 5, 16	decaddi 12669	. . . . 5 ⊢ (;𝐶0 + ;𝐴𝐵) = ;𝐶;𝐴𝐵
18	13, 17	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ;𝐷𝐵 = ;𝐶;𝐴𝐵
19	18, 18	oveq12i 7365	. . 3 ⊢ (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵) = (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)
20	19	oveq2i 7364	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵))
21	14, 1	sqdeccom12 42262	. 2 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐶;𝐴𝐵 · ;𝐶;𝐴𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))
22	20, 21	eqtri 2752	1 ⊢ ((;;𝐴𝐵𝐶 · ;;𝐴𝐵𝐶) − (;𝐷𝐵 · ;𝐷𝐵)) = (;99 · ((;𝐴𝐵 · ;𝐴𝐵) − (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  9c9 12208  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610

This theorem is referenced by: (None)