Theorem hashssdif 14319

Description: The size of the difference of a finite set and a subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		diffi 9089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		disjdif 4423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
4		hashun 14289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
5	3, 4	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	6	anabss1 666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8		undif 4433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
9	8	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
10	9	fveqeq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
12	7, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
13	12	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴))
14		hashcl 14263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
16		hashcl 14263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
19		hashcl 14263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
22		subadd 11366	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
23	15, 18, 21, 22	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
24	23	3anidm13 1422	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
25	24	anabss5 668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
26	13, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
27	26	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007   + caddc 11012   − cmin 11347  ℕ₀cn0 12384  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashdif  14320  hashdifsn  14321  hashreshashfun  14346  hashdifsnp1  14413  uvtxnm1nbgr  29349  clwwlknclwwlkdifnum  29924  cycpmconjslem2  33097  cyc3conja  33099  ballotlemfmpn  34463  ballotth  34506  poimirlem26  37630  poimirlem27  37631