Theorem hashssdif 14448

Description: The size of the difference of a finite set and a subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashssdif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashssdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		diffi 9158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		disjdif 4438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
4		hashun 14417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
5	3, 4	mp3an3 1476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
6	1, 2, 5	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
7	6	anabss1 678	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
8		undif 4448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
9	8	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
10	9	fveqeq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
12	7, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
13	12	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴))
14		hashcl 14391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
16		hashcl 14391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
19		hashcl 14391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
20	2, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
22		subadd 11459	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
23	15, 18, 21, 22	syl3an 1176	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
24	23	3anidm13 1445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
25	24	anabss5 680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (♯‘𝐴)))
26	13, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
27	26	eqcomd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097   + caddc 11102   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hashdif  14449  hashdifsn  14450  hashreshashfun  14475  hashdifsnp1  14542  uvtxnm1nbgr  29694  clwwlknclwwlkdifnum  30271  cycpmconjslem2  33415  cyc3conja  33417  ballotlemfmpn  34829  ballotth  34872  poimirlem26  38184  poimirlem27  38185