MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ennn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ennn 13984
Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn 0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12516 . 2 0 ∈ V
2 nnex 12256 . 2 ℕ ∈ V
3 nn0p1nn 12549 . 2 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 12551 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5 nncn 12258 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nn0cn 12520 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 11204 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 subadd 11501 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
97, 8mp3an2 1445 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10 eqcom 2735 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11 eqcom 2735 . . . . 5 (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
129, 10, 113bitr4g 313 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13 addcom 11438 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
147, 13mpan 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
1514eqeq2d 2739 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1615adantl 480 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1712, 16bitrd 278 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
185, 6, 17syl2anr 595 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
191, 2, 3, 4, 18en3i 9018 1 0 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cen 8967  cc 11144  1c1 11147   + caddc 11149  cmin 11482  cn 12250  0cn0 12510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-nn 12251  df-n0 12511
This theorem is referenced by:  nnenom  13985  bitsf1  16428  dyadmbl  25549  aannenlem3  26285  poimirlem32  37158  heiborlem3  37319  heibor  37327
  Copyright terms: Public domain W3C validator