Theorem nn0ennn 13902

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12407	. 2 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 12151	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
3		nn0p1nn 12440	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12442	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5		nncn 12153	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nn0cn 12411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11084	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		subadd 11383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13		addcom 11319	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
14	7, 13	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
15	14	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
17	12, 16	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
18	5, 6, 17	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 8928	1 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   ≈ cen 8880  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  nnenom  13903  bitsf1  16373  dyadmbl  25557  aannenlem3  26294  poimirlem32  37853  heiborlem3  38014  heibor  38022