Theorem nn0ennn 14129

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12619	. 2 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 12348	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
3		nn0p1nn 12652	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12654	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5		nncn 12350	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nn0cn 12623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		subadd 11567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
12	9, 10, 11	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13		addcom 11503	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
14	7, 13	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
15	14	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
17	12, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
18	5, 6, 17	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 9025	1 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424   ≈ cen 8977  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   − cmin 11548  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  nnenom  14130  bitsf1  16625  dyadmbl  25930  aannenlem3  26666  poimirlem32  38679  heiborlem3  38856  heibor  38864