Theorem nn0ennn 13916

Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ennn	⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12421	. 2 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 12165	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
3		nn0p1nn 12454	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12456	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5		nncn 12167	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		nn0cn 12425	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11098	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		subadd 11397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
9	7, 8	mp3an2 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13		addcom 11333	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
14	7, 13	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
15	14	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
17	12, 16	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
18	5, 6, 17	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 18	en3i 8942	1 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370   ≈ cen 8894  ℂcc 11038  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-sub 11380  df-nn 12160  df-n0 12416

This theorem is referenced by:  nnenom  13917  bitsf1  16387  dyadmbl  25574  aannenlem3  26311  poimirlem32  37932  heiborlem3  38093  heibor  38101