MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ennn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ennn 13005
Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn 0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11568 . 2 0 ∈ V
2 nnex 11314 . 2 ℕ ∈ V
3 nn0p1nn 11601 . 2 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 11603 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
5 nncn 11316 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nn0cn 11572 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 10282 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 subadd 10572 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
97, 8mp3an2 1566 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 1) = 𝑥 ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦))
10 eqcom 2820 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ (𝑦 − 1) = 𝑥)
11 eqcom 2820 . . . . 5 (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ (1 + 𝑥) = 𝑦)
129, 10, 113bitr4g 305 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (1 + 𝑥)))
13 addcom 10510 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
147, 13mpan 673 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + 𝑥) = (𝑥 + 1))
1514eqeq2d 2823 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1615adantl 469 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = (1 + 𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
1712, 16bitrd 270 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
185, 6, 17syl2anr 586 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 − 1) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 1)))
191, 2, 3, 4, 18en3i 8234 1 0 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  cen 8192  cc 10222  1c1 10225   + caddc 10227  cmin 10554  cn 11308  0cn0 11562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-sub 10556  df-nn 11309  df-n0 11563
This theorem is referenced by:  nnenom  13006  bitsf1  15390  dyadmbl  23587  aannenlem3  24305  poimirlem32  33756  heiborlem3  33925  heibor  33933
  Copyright terms: Public domain W3C validator