MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2tsin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2tsin 15832
Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2tsin (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Proof of Theorem cos2tsin
StepHypRef Expression
1 cos2t 15831 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
2 2cn 11994 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 sincl 15779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
43sqcld 13806 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
5 coscl 15780 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
65sqcld 13806 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7 adddi 10907 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
82, 4, 6, 7mp3an2i 1464 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
9 sincossq 15829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
109oveq2d 7276 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
118, 10eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
12 2t1e2 12082 . . . . 5 (2 · 1) = 2
1311, 12eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2)
14 mulcl 10902 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
152, 4, 14sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
16 mulcl 10902 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
172, 6, 16sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18 subadd 11170 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
192, 15, 17, 18mp3an2i 1464 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
2013, 19mpbird 256 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)))
2120oveq1d 7275 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
22 ax-1cn 10876 . . . . 5 1 ∈ ℂ
23 sub32 11201 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
242, 22, 23mp3an13 1450 . . . 4 ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
2515, 24syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
26 2m1e1 12045 . . . 4 (2 − 1) = 1
2726oveq1i 7270 . . 3 ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))
2825, 27eqtrdi 2793 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
291, 21, 283eqtr2d 2783 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6423  (class class class)co 7260  cc 10816  1c1 10819   + caddc 10821   · cmul 10823  cmin 11151  2c2 11974  cexp 13726  sincsin 15717  cosccos 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-pm 8581  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-rp 12676  df-ico 13030  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-seq 13666  df-exp 13727  df-fac 13932  df-bc 13961  df-hash 13989  df-shft 14722  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-limsup 15124  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-sum 15342  df-ef 15721  df-sin 15723  df-cos 15724
This theorem is referenced by:  coseq1  25624
  Copyright terms: Public domain W3C validator