Theorem cos2tsin 16273

Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tsin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Proof of Theorem cos2tsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos2t 16272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
2		2cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		sincl 16220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
5		coscl 16221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		adddi 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
8	2, 4, 6, 7	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
9		sincossq 16270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
11	8, 10	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
12		2t1e2 12431	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
13	11, 12	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2)
14		mulcl 11212	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
15	2, 4, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
16		mulcl 11212	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
17	2, 6, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18		subadd 11488	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
19	2, 15, 17, 18	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
20	13, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)))
21	20	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
22		ax-1cn 11186	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		sub32 11520	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
24	2, 22, 23	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
25	15, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
26		2m1e1 12393	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
27	26	oveq1i 7427	. . 3 ⊢ ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))
28	25, 27	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
29	1, 21, 28	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  2c2 12323  ↑cexp 14129  sincsin 16155  cosccos 16156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162

This theorem is used by:  coseq1  26770  sin3t  47743  sin5t  47750