Theorem cos2tsin 15524

Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tsin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Proof of Theorem cos2tsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos2t 15523	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
2		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		sincl 15471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
5		coscl 15472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		adddi 10615	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
8	2, 4, 6, 7	mp3an2i 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
9		sincossq 15521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
11	8, 10	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
12		2t1e2 11788	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
13	11, 12	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2)
14		mulcl 10610	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
15	2, 4, 14	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
16		mulcl 10610	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
17	2, 6, 16	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18		subadd 10878	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
19	2, 15, 17, 18	mp3an2i 1463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
20	13, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)))
21	20	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
22		ax-1cn 10584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		sub32 10909	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
24	2, 22, 23	mp3an13 1449	. . . 4 ⊢ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
26		2m1e1 11751	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
27	26	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))
28	25, 27	eqtrdi 2849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
29	1, 21, 28	3eqtr2d 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  2c2 11680  ↑cexp 13425  sincsin 15409  cosccos 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416

This theorem is referenced by:  coseq1  25117