Theorem cos2tsin 15832

Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tsin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Proof of Theorem cos2tsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos2t 15831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
2		2cn 11994	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		sincl 15779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 13806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
5		coscl 15780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 13806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		adddi 10907	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
8	2, 4, 6, 7	mp3an2i 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
9		sincossq 15829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	9	oveq2d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
11	8, 10	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
12		2t1e2 12082	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
13	11, 12	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2)
14		mulcl 10902	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
15	2, 4, 14	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
16		mulcl 10902	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
17	2, 6, 16	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18		subadd 11170	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
19	2, 15, 17, 18	mp3an2i 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
20	13, 19	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)))
21	20	oveq1d 7275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
22		ax-1cn 10876	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		sub32 11201	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
24	2, 22, 23	mp3an13 1450	. . . 4 ⊢ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
26		2m1e1 12045	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
27	26	oveq1i 7270	. . 3 ⊢ ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))
28	25, 27	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
29	1, 21, 28	3eqtr2d 2783	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  ℂcc 10816  1c1 10819   + caddc 10821   · cmul 10823   − cmin 11151  2c2 11974  ↑cexp 13726  sincsin 15717  cosccos 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-pm 8581  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-rp 12676  df-ico 13030  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-seq 13666  df-exp 13727  df-fac 13932  df-bc 13961  df-hash 13989  df-shft 14722  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-limsup 15124  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-sum 15342  df-ef 15721  df-sin 15723  df-cos 15724

This theorem is referenced by:  coseq1  25624