Theorem swrdsb0eq 14711

Description: Two subwords with the same bounds are equal if the range is not valid. (Contributed by AV, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdsb0eq	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdsb0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		nn0z 12664	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	ad2antrl 727	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 12664	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antll 728	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		swrdlend 14701	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
8	7	3impia 1117	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅)
9		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10		swrdlend 14701	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
11	9, 3, 5, 10	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
12	11	3impia 1117	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅)
13	8, 12	eqtr4d 2783	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  Word cword 14562   substr csubstr 14688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-substr 14689

This theorem is referenced by:  swrdsbslen  14712  swrdspsleq  14713