MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdsbslen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdsbslen 14559
Description: Two subwords with the same bounds have the same length. (Contributed by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdsbslen (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))

Proof of Theorem swrdsbslen
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
2 simpr2 1196 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
3 simpl 484 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → 𝑁𝑀)
4 swrdsb0eq 14558 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . 3 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
65fveq2d 6851 . 2 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
7 nn0re 12429 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 12429 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
9 ltnle 11241 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
10 ltle 11250 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
119, 10sylbird 260 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
127, 8, 11syl2an 597 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
13123ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
14 simpl1l 1225 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
15 simpl2l 1227 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
17 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1816, 17anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
19183ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2019anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁))
21 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
23 eluz2 12776 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 simpl3l 1229 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
26 swrdlen2 14555 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
2714, 15, 24, 25, 26syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
28 simpl1r 1226 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
29 simpl3r 1230 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
30 swrdlen2 14555 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
3128, 15, 24, 29, 30syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
3227, 31eqtr4d 2780 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
3332ex 414 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀𝑁 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
3413, 33syld 47 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁𝑀 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
3534impcom 409 . 2 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
366, 35pm2.61ian 811 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4597   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  chash 14237  Word cword 14409   substr csubstr 14535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-substr 14536
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  14560
  Copyright terms: Public domain W3C validator