Theorem swrdsbslen 14738

Description: Two subwords with the same bounds have the same length. (Contributed by AV, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdsbslen	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))

Proof of Theorem swrdsbslen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → 𝑁 ≤ 𝑀)
4		swrdsb0eq 14737	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
6	5	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
7		nn0re 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
8		nn0re 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		ltnle 11317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀))
10		ltle 11326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	9, 10	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝑁))
12	7, 8, 11	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝑁))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝑁))
14		simpl1l 1243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
15		simpl2l 1245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0z 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		nn0z 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	16, 17	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
20	19	anim1i 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
21		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
23		eluz2 12897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
24	22, 23	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		simpl3l 1247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
26		swrdlen2 14734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
27	14, 15, 24, 25, 26	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
28		simpl1r 1244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
29		simpl3r 1248	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
30		swrdlen2 14734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
31	28, 15, 24, 29, 30	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
32	27, 31	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
33	32	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
34	13, 33	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
35	34	impcom 413	. 2 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
36	6, 35	pm2.61ian 824	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ♯chash 14398  Word cword 14582   substr csubstr 14712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-substr 14713

This theorem is used by:  swrdspsleq  14739