Theorem dvdsfac 16266

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
2	1	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
3	2	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4		fveq2 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
5	4	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
6	5	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7		fveq2 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
8	7	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
9	8	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10		fveq2 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
11	10	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13		nnm1nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14241	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12582	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
16		nnz 12576	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		dvdsmul2 16219	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19		facnn2 14239	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20	18, 19	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
21	16	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
22		elnnuz 12863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
23		uztrn 12837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylan2b 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elnnuz 12863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
26	24, 25	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	27	faccld 14241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
30	26	nnzd 12582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
32		dvdsmultr1 16236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
33	21, 29, 31, 32	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
34		facp1 14235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
36	35	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37	33, 36	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
38	37	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
40	3, 6, 9, 12, 20, 39	uzind4i 12891	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
41	40	impcom 409	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11441  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  !cfa 14230   ∥ cdvds 16194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-fac 14231  df-dvds 16195

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16582  prmunb  16844  prmgaplem1  16979  gexcl3  19450  wilth  26565  chtublem  26704  prmdvdsbc  32010