MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 16142
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6837 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐พ))
21breq2d 5115 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ)))
32imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))))
4 fveq2 6837 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘ฆ))
54breq2d 5115 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ))))
7 fveq2 6837 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))
87breq2d 5115 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
98imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
10 fveq2 6837 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1110breq2d 5115 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
13 nnm1nn0 12387 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413faccld 14111 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1514nnzd 12538 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
16 nnz 12455 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
17 dvdsmul2 16095 . . . . 5 (((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
19 facnn2 14109 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
2018, 19breqtrrd 5131 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))
2116adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
22 elnnuz 12735 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
23 uztrn 12713 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2422, 23sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
25 elnnuz 12735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12406 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
2827faccld 14111 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
2928nnzd 12538 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3026nnzd 12538 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3130peano2zd 12542 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
32 dvdsmultr1 16112 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
3321, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
34 facp1 14105 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3635breq2d 5115 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) โ†” ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
3733, 36sylibrd 258 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
3837ex 413 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
3938a2d 29 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
403, 6, 9, 12, 20, 39uzind4i 12763 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
4140impcom 408 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   โˆ’ cmin 11318  โ„•cn 12086  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432  โ„คโ‰ฅcuz 12695  !cfa 14100   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-seq 13835  df-fac 14101  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  lcmflefac  16458  prmunb  16720  prmgaplem1  16855  gexcl3  19298  wilth  26342  chtublem  26481  prmdvdsbc  31506
  Copyright terms: Public domain W3C validator