MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 15664
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
21breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
32imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
54breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
65imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
87breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
98imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1110breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
1211imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13 nnm1nn0 11926 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
1413faccld 13632 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1514nnzd 12074 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
16 nnz 11992 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17 dvdsmul2 15620 . . . . 5 (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19 facnn2 13630 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
2018, 19breqtrrd 5085 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
2116adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
22 elnnuz 12270 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
23 uztrn 12249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2422, 23sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
25 elnnuz 12270 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2624, 25sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2827faccld 13632 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
2928nnzd 12074 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
3026nnzd 12074 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
3130peano2zd 12078 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
32 dvdsmultr1 15635 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3321, 29, 31, 32syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
34 facp1 13626 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3635breq2d 5069 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3733, 36sylibrd 260 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
3837ex 413 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
3938a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
403, 6, 9, 12, 20, 39uzind4i 12298 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
4140impcom 408 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  !cfa 13621  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-fac 13622  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15980  prmunb  16238  prmgaplem1  16373  gexcl3  18641  wilth  25575  chtublem  25714  prmdvdsbc  30458
  Copyright terms: Public domain W3C validator