Theorem dvdsfac 16422

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
2	1	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
5	4	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
8	7	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
11	10	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13		nnm1nn0 12573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14352	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12645	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
16		nnz 12640	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		dvdsmul2 16374	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19		facnn2 14350	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20	18, 19	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
21	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
22		elnnuz 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
23		uztrn 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylan2b 606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elnnuz 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	27	faccld 14352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
30	26	nnzd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
32		dvdsmultr1 16392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
33	21, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
34		facp1 14346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
35	27, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
36	35	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37	33, 36	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
38	37	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
40	3, 6, 9, 12, 20, 39	uzind4i 12963	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
41	40	impcom 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  !cfa 14341   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-fac 14342  df-dvds 16349

This theorem is used by:  lcmflefac  16744  prmdvdsbc  16823  prmunb  17012  prmgaplem1  17147  gexcl3  19720  wilth  27315  chtublem  27455  muldvdsfacgt  48282