MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 16143
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6838 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐พ))
21breq2d 5116 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ)))
32imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))))
4 fveq2 6838 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘ฆ))
54breq2d 5116 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ))))
7 fveq2 6838 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))
87breq2d 5116 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
98imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
10 fveq2 6838 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1110breq2d 5116 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
13 nnm1nn0 12388 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1413faccld 14112 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1514nnzd 12539 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
16 nnz 12456 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
17 dvdsmul2 16096 . . . . 5 (((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
19 facnn2 14110 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
2018, 19breqtrrd 5132 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))
2116adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
22 elnnuz 12736 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
23 uztrn 12714 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2422, 23sylan2b 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
25 elnnuz 12736 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12407 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
2827faccld 14112 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
2928nnzd 12539 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3026nnzd 12539 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3130peano2zd 12543 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
32 dvdsmultr1 16113 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
3321, 29, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
34 facp1 14106 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3635breq2d 5116 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) โ†” ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
3733, 36sylibrd 259 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
3837ex 414 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
3938a2d 29 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
403, 6, 9, 12, 20, 39uzind4i 12764 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
4140impcom 409 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   โˆ’ cmin 11319  โ„•cn 12087  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433  โ„คโ‰ฅcuz 12696  !cfa 14101   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-seq 13836  df-fac 14102  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  lcmflefac  16459  prmunb  16721  prmgaplem1  16856  gexcl3  19298  wilth  26342  chtublem  26481  prmdvdsbc  31494
  Copyright terms: Public domain W3C validator