Theorem dvdsfac 16274

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
2	1	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
5	4	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
8	7	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
11	10	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13		nnm1nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 14249	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12590	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
16		nnz 12584	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		dvdsmul2 16227	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19		facnn2 14247	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20	18, 19	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
21	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
22		elnnuz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
23		uztrn 12845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylan2b 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elnnuz 12871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
26	24, 25	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	27	faccld 14249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
30	26	nnzd 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
32		dvdsmultr1 16244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
33	21, 29, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
34		facp1 14243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
36	35	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37	33, 36	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
40	3, 6, 9, 12, 20, 39	uzind4i 12899	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
41	40	impcom 407	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   − cmin 11449  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  !cfa 14238   ∥ cdvds 16202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-fac 14239  df-dvds 16203

This theorem is referenced by:  lcmflefac  16590  prmunb  16852  prmgaplem1  16987  gexcl3  19497  wilth  26812  chtublem  26951  prmdvdsbc  32290