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Theorem incsequz2 36258
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑛

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 36257 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
2 nnssre 12165 . . . . . . . 8 β„• βŠ† ℝ
3 ltso 11243 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4 sopo 5568 . . . . . . . . 9 ( < Or ℝ β†’ < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 < Po ℝ
6 poss 5551 . . . . . . . 8 (β„• βŠ† ℝ β†’ ( < Po ℝ β†’ < Po β„•))
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7 < Po β„•
8 seqpo 36256 . . . . . . 7 (( < Po β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
97, 8mpan 689 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
1110imdistani 570 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
12 uzp1 12812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))))
13 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
15 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•)
1615nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
17 uzid 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2014, 19eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2120adantllr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
22 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
23 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
2423breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2522, 24raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2625rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž))
27 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
2827breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜)))
2928rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3026, 29sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3130adantlll 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3216adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
33 peano2nn 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
34 elnnuz 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 + 1) ∈ β„• ↔ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
36 uztrn 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3736ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
38 elnnuz 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4035, 39sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4340, 42sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4443anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
45 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
46 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
47 ltle 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4845, 46, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
49 eluz 12785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5048, 49sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5132, 44, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5251adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5331, 52mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5421, 53jaodan 957 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5512, 54sylan2 594 . . . . . . . 8 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
56 uztrn 12789 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
5756ex 414 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5958adantllr 718 . . . . . 6 (((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6059ralrimdva 3148 . . . . 5 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6160ex 414 . . . 4 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6211, 61stoic3 1779 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6362reximdvai 3159 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
641, 63mpd 15 1 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   Po wpo 5547   Or wor 5548  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772
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