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Theorem incsequz2 36612
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑛

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 36611 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
2 nnssre 12215 . . . . . . . 8 β„• βŠ† ℝ
3 ltso 11293 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4 sopo 5607 . . . . . . . . 9 ( < Or ℝ β†’ < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 < Po ℝ
6 poss 5590 . . . . . . . 8 (β„• βŠ† ℝ β†’ ( < Po ℝ β†’ < Po β„•))
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7 < Po β„•
8 seqpo 36610 . . . . . . 7 (( < Po β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
1110imdistani 569 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
12 uzp1 12862 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))))
13 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
15 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•)
1615nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
17 uzid 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2014, 19eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2120adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
22 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
2423breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2522, 24raleqbidv 3342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2625rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž))
27 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
2827breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜)))
2928rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3026, 29sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3130adantlll 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
33 peano2nn 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
34 elnnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 + 1) ∈ β„• ↔ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
36 uztrn 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3736ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
38 elnnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4035, 39sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4340, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4443anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
45 zre 12561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
46 zre 12561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
47 ltle 11301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4845, 46, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
49 eluz 12835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5132, 44, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5251adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5331, 52mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5421, 53jaodan 956 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5512, 54sylan2 593 . . . . . . . 8 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
56 uztrn 12839 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
5756ex 413 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5958adantllr 717 . . . . . 6 (((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6059ralrimdva 3154 . . . . 5 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6160ex 413 . . . 4 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6211, 61stoic3 1778 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6362reximdvai 3165 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
641, 63mpd 15 1 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Po wpo 5586   Or wor 5587  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822
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