Theorem incsequz2 37788

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz2	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz2

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incsequz 37787	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		nnssre 12126	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ltso 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ
4		sopo 5543	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ < Po ℝ
6		poss 5526	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po ℕ))
7	2, 5, 6	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ < Po ℕ
8		seqpo 37786	. . . . . . 7 ⊢ (( < Po ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
9	7, 8	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
10	9	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
11	10	imdistani 568	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
12		uzp1 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))))
13		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
15		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
17		uzid 12744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
20	14, 19	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
21	20	adantllr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
22		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (ℤ≥‘(𝑝 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))
23		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
24	23	breq1d 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
25	22, 24	raleqbidv 3312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
26	25	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞))
27		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑘))
28	27	breq2d 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘)))
29	28	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
31	30	adantlll 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
32	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
33		peano2nn 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
34		elnnuz 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
35	33, 34	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
36		uztrn 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
38		elnnuz 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	35, 39	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 12492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 42	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
44	43	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
45		zre 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
46		zre 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
47		ltle 11198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 46, 47	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49		eluz 12743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	48, 49	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
51	32, 44, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
52	51	adantllr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
53	31, 52	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
54	21, 53	jaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
55	12, 54	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
56		uztrn 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
57	56	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
59	58	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
60	59	ralrimdva 3132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
61	60	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
62	11, 61	stoic3 1777	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
63	62	reximdvai 3143	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
64	1, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   Po wpo 5522   Or wor 5523  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  1c1 11004   + caddc 11006   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℕcn 12122  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730

This theorem is referenced by: (None)