Theorem incsequz2 34569

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz2	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz2

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incsequz 34568	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		nnssre 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ltso 10570	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ
4		sopo 5383	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ < Po ℝ
6		poss 5367	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po ℕ))
7	2, 5, 6	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ < Po ℕ
8		seqpo 34567	. . . . . . 7 ⊢ (( < Po ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
9	7, 8	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
10	9	biimpd 230	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
11	10	imdistani 569	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
12		uzp1 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))))
13		fveq2 6541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
15		ffvelrn 6717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 11936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
17		uzid 12108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
20	14, 19	eqeltrd 2882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
21	20	adantllr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
22		fvoveq1 7042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (ℤ≥‘(𝑝 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))
23		fveq2 6541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
24	23	breq1d 4974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
25	22, 24	raleqbidv 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
26	25	rspccva 3556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞))
27		fveq2 6541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑘))
28	27	breq2d 4976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘)))
29	28	rspccva 3556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
31	30	adantlll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
32	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
33		peano2nn 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
34		elnnuz 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
35	33, 34	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
36		uztrn 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
38		elnnuz 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
39	37, 38	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	35, 39	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		ffvelrn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 11936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 42	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
44	43	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
45		zre 11835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
46		zre 11835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
47		ltle 10578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 46, 47	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49		eluz 12107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	48, 49	sylibrd 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
51	32, 44, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
52	51	adantllr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
53	31, 52	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
54	21, 53	jaodan 952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
55	12, 54	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
56		uztrn 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
57	56	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
59	58	adantllr 715	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
60	59	ralrimdva 3155	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
61	60	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
62	11, 61	stoic3 1759	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
63	62	reximdvai 3234	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
64	1, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∀wral 3104  ∃wrex 3105   ⊆ wss 3861   class class class wbr 4964   Po wpo 5363   Or wor 5364  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524   ≤ cle 10525  ℕcn 11488  ℤcz 11831  ℤ_≥cuz 12093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094

This theorem is referenced by: (None)