Theorem incsequz2 37461

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz2	⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz2

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incsequz 37460	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		nnssre 12260	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ltso 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ
4		sopo 5604	. . . . . . . . 9 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ < Po ℝ
6		poss 5587	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po ℕ))
7	2, 5, 6	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ < Po ℕ
8		seqpo 37459	. . . . . . 7 ⊢ (( < Po ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
9	7, 8	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
10	9	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
11	10	imdistani 567	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)))
12		uzp1 12907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))))
13		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
14	13	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
15		ffvelcdm 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
17		uzid 12881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
19	18	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
20	14, 19	eqeltrd 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
21	20	adantllr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
22		fvoveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (ℤ≥‘(𝑝 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))
23		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
24	23	breq1d 5154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
25	22, 24	raleqbidv 3331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ↔ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞)))
26	25	rspccva 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞))
27		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑘))
28	27	breq2d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ↔ (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘)))
29	28	rspccva 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
31	30	adantlll 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘))
32	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℤ)
33		peano2nn 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
34		elnnuz 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
35	33, 34	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
36		uztrn 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
38		elnnuz 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
39	37, 38	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	35, 39	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		ffvelcdm 7085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 12629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 42	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
44	43	anassrs 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
45		zre 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
46		zre 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℤ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
47		ltle 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
48	45, 46, 47	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
49		eluz 12880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) ≤ (𝐹‘𝑘)))
50	48, 49	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
51	32, 44, 50	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
52	51	adantllr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹‘𝑛) < (𝐹‘𝑘) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛))))
53	31, 52	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
54	21, 53	jaodan 955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
55	12, 54	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)))
56		uztrn 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
57	56	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
59	58	adantllr 717	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
60	59	ralrimdva 3144	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
61	60	ex 411	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑝 + 1))(𝐹‘𝑝) < (𝐹‘𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
62	11, 61	stoic3 1771	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))))
63	62	reximdvai 3155	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
64	1, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹‘𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5144   Po wpo 5583   Or wor 5584  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  ℝcr 11146  1c1 11148   + caddc 11150   < clt 11287   ≤ cle 11288  ℕcn 12256  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867

This theorem is referenced by: (None)