Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsequz2 37461
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 37460 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴))
2 nnssre 12260 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℝ
3 ltso 11333 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4 sopo 5604 . . . . . . . . 9 ( < Or ℝ → < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 < Po ℝ
6 poss 5587 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po ℕ))
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7 < Po ℕ
8 seqpo 37459 . . . . . . 7 (( < Po ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
1110imdistani 567 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1))) → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)))
12 uzp1 12907 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 = 𝑛𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))))
13 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
15 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ)
1615nnzd 12629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
17 uzid 12881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛) ∈ ℤ → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑛) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
2014, 19eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
2120adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
22 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 → (ℤ‘(𝑝 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1)))
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
2423breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹𝑞)))
2522, 24raleqbidv 3331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑛 → (∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ↔ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞)))
2625rspccva 3607 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞))
27 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
2827breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑞) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘)))
2928rspccva 3607 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐹𝑛) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3026, 29sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3130adantlll 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) < (𝐹𝑘))
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℤ)
33 peano2nn 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
34 elnnuz 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
36 uztrn 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3736ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
38 elnnuz 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4035, 39sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
4241nnzd 12629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
4340, 42sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
4443anassrs 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
45 zre 12606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑛) ∈ ℤ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
46 zre 12606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℤ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
47 ltle 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
4845, 46, 47syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
49 eluz 12880 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹𝑘)))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5132, 44, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5251adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → ((𝐹𝑛) < (𝐹𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛))))
5331, 52mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
5421, 53jaodan 955 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 = 𝑛𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
5512, 54sylan2 591 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)))
56 uztrn 12884 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) ∧ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
5756ex 411 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (ℤ‘(𝐹𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
5958adantllr 717 . . . . . 6 (((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
6059ralrimdva 3144 . . . . 5 ((((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
6160ex 411 . . . 4 (((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑝 + 1))(𝐹𝑝) < (𝐹𝑞)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))))
6211, 61stoic3 1771 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))))
6362reximdvai 3155 . 2 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ (ℤ𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴)))
641, 63mpd 15 1 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) < (𝐹‘(𝑚 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947   class class class wbr 5144   Po wpo 5583   Or wor 5584  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  cr 11146  1c1 11148   + caddc 11150   < clt 11287  cle 11288  cn 12256  cz 12602  cuz 12866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator