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Theorem incsequz2 36920
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑛

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 36919 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
2 nnssre 12220 . . . . . . . 8 β„• βŠ† ℝ
3 ltso 11298 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4 sopo 5606 . . . . . . . . 9 ( < Or ℝ β†’ < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 < Po ℝ
6 poss 5589 . . . . . . . 8 (β„• βŠ† ℝ β†’ ( < Po ℝ β†’ < Po β„•))
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7 < Po β„•
8 seqpo 36918 . . . . . . 7 (( < Po β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
97, 8mpan 686 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
1110imdistani 567 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1))) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)))
12 uzp1 12867 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))))
13 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
15 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•)
1615nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
17 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2014, 19eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
2120adantllr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
22 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
23 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘›))
2423breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2522, 24raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž)))
2625rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž))
27 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
2827breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜)))
2928rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3026, 29sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3130adantlll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜))
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€)
33 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
34 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 + 1) ∈ β„• ↔ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
36 uztrn 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3736ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
38 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4035, 39sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
4241nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4340, 42sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
4443anassrs 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
45 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
46 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
47 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
4845, 46, 47syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
49 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ↔ (πΉβ€˜π‘›) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5132, 44, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5251adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5331, 52mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5421, 53jaodan 954 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ = 𝑛 ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
5512, 54sylan2 591 . . . . . . . 8 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
56 uztrn 12844 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
5756ex 411 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
5958adantllr 715 . . . . . 6 (((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6059ralrimdva 3152 . . . . 5 ((((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
6160ex 411 . . . 4 (((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘ ∈ β„• βˆ€π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑝 + 1))(πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6211, 61stoic3 1776 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))))
6362reximdvai 3163 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄)))
641, 63mpd 15 1 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘š) < (πΉβ€˜(π‘š + 1)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Po wpo 5585   Or wor 5586  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827
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