Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climuzcnv 35656
Description: Utility lemma to convert between 𝑚𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12920 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
2 uztrn 12894 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
31, 2sylan2b 594 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4 elnnuz 12920 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
53, 4sylibr 234 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
65expcom 413 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7 eluzle 12889 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑘)
87a1i 11 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑘))
96, 8jcad 512 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘)))
10 nnz 12632 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12 eluz2 12882 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘))
1312biimpri 228 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
1411, 13syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
1510, 14syl3an2 1163 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
16153expib 1121 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
179, 16impbid 212 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘)))
1817imbi1d 341 . 2 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝜑)))
19 impexp 450 . 2 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑)))
2018, 19bitrdi 287 1 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  1c1 11154  cle 11294  cn 12264  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator