Theorem climuzcnv 35683

Description: Utility lemma to convert between 𝑚 ≤ 𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
climuzcnv	⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
2		uztrn 12742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 12768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7		eluzle 12737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘))
9	6, 8	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
10		nnz 12481	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11		nnz 12481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12		eluz2 12730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘))
13	12	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
14	11, 13	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	10, 14	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
16	15	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
17	9, 16	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
18	17	imbi1d 341	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
19		impexp 450	. 2 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
20	18, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  1c1 10999   ≤ cle 11139  ℕcn 12117  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-z 12461  df-uz 12725

This theorem is referenced by: (None)