Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climuzcnv 34323
Description: Utility lemma to convert between 𝑚𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12815 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
2 uztrn 12789 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
31, 2sylan2b 595 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
4 elnnuz 12815 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
53, 4sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
65expcom 415 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7 eluzle 12784 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑘)
87a1i 11 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑘))
96, 8jcad 514 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘)))
10 nnz 12528 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11 nnz 12528 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12 eluz2 12777 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘))
1312biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
1411, 13syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
1510, 14syl3an2 1165 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))
16153expib 1123 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
179, 16impbid 211 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘)))
1817imbi1d 342 . 2 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝜑)))
19 impexp 452 . 2 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑)))
2018, 19bitrdi 287 1 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚𝑘𝜑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5109  cfv 6500  1c1 11060  cle 11198  cn 12161  cz 12507  cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator