Theorem climuzcnv 35665

Description: Utility lemma to convert between 𝑚 ≤ 𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
climuzcnv	⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
2		uztrn 12818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7		eluzle 12813	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘))
9	6, 8	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
10		nnz 12557	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11		nnz 12557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12		eluz2 12806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘))
13	12	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
14	11, 13	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	10, 14	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
16	15	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
17	9, 16	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
18	17	imbi1d 341	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
19		impexp 450	. 2 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
20	18, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by: (None)