Theorem climuzcnv 35884

Description: Utility lemma to convert between 𝑚 ≤ 𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
climuzcnv	⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
2		uztrn 12781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylan2b 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7		eluzle 12776	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘))
9	6, 8	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
10		nnz 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11		nnz 12521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12		eluz2 12769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘))
13	12	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
14	11, 13	syl3an1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	10, 14	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
16	15	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
17	9, 16	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
18	17	imbi1d 341	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
19		impexp 450	. 2 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
20	18, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by: (None)