Theorem climuzcnv 35874

Description: Utility lemma to convert between 𝑚 ≤ 𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
climuzcnv	⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
2		uztrn 12795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylan2b 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 12817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7		eluzle 12790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘))
9	6, 8	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
10		nnz 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11		nnz 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12		eluz2 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘))
13	12	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
14	11, 13	syl3an1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	10, 14	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
16	15	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
17	9, 16	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
18	17	imbi1d 341	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
19		impexp 450	. 2 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
20	18, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  1c1 11028   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-z 12514  df-uz 12778

This theorem is referenced by: (None)