Theorem climuzcnv 33629

Description: Utility lemma to convert between 𝑚 ≤ 𝑘 and 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑚) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
climuzcnv	⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)

Proof of Theorem climuzcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
2		uztrn 12600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ))
7		eluzle 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝑚 ≤ 𝑘))
9	6, 8	jcad 513	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
10		nnz 12342	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
12		eluz2 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘))
13	12	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
14	11, 13	syl3an1 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	10, 14	syl3an2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
16	15	3expib 1121	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
17	9, 16	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘)))
18	17	imbi1d 342	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
19		impexp 451	. 2 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
20	18, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑚 ≤ 𝑘 → 𝜑))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by: (None)