Theorem fzsdom2 14495

Description: Condition for finite ranges to have a strict dominance relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsdom2	⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))

Proof of Theorem fzsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12728	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eluzel2 12895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12728	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11669	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
9	8	zred 12728	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9, 6	resubcld 11669	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11236	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
13	3, 9, 6, 12	ltsub1dd 11853	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐴))
14	7, 10, 11, 13	ltadd1dd 11852	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐵 − 𝐴) + 1) < ((𝐶 − 𝐴) + 1))
15		hashfz 14494	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
16	15	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	3, 9, 12	ltled 11385	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐶)
18		eluz2 12896	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
19	2, 8, 17, 18	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
20		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
21		uztrn 12908	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23		hashfz 14494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐶)) = ((𝐶 − 𝐴) + 1))
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐶)) = ((𝐶 − 𝐴) + 1))
25	14, 16, 24	3brtr4d 5141	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)))
26		fzfi 14038	. . 3 ⊢ (𝐴...𝐵) ∈ Fin
27		fzfi 14038	. . 3 ⊢ (𝐴...𝐶) ∈ Fin
28		hashsdom 14447	. . 3 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴...𝐶) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)) ↔ (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶)))
29	26, 27, 28	mp2an 705	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)) ↔ (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))
30	25, 29	sylib 221	1 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ≺ csdm 8954  Fincfn 8955  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  ♯chash 14396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397

This theorem is used by:  irrapxlem1  43650