Theorem fzsdom2 14385

Description: Condition for finite ranges to have a strict dominance relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsdom2	⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))

Proof of Theorem fzsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12628	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eluzel2 12788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12628	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11573	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
9	8	zred 12628	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9, 6	resubcld 11573	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11140	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 1 ∈ ℝ)
12		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
13	3, 9, 6, 12	ltsub1dd 11757	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐴))
14	7, 10, 11, 13	ltadd1dd 11756	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐵 − 𝐴) + 1) < ((𝐶 − 𝐴) + 1))
15		hashfz 14384	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
16	15	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	3, 9, 12	ltled 11289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐶)
18		eluz2 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
19	2, 8, 17, 18	syl3anbrc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
20		simpll 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
21		uztrn 12801	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
23		hashfz 14384	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐶)) = ((𝐶 − 𝐴) + 1))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐶)) = ((𝐶 − 𝐴) + 1))
25	14, 16, 24	3brtr4d 5107	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)))
26		fzfi 13929	. . 3 ⊢ (𝐴...𝐵) ∈ Fin
27		fzfi 13929	. . 3 ⊢ (𝐴...𝐶) ∈ Fin
28		hashsdom 14338	. . 3 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴...𝐶) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)) ↔ (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶)))
29	26, 27, 28	mp2an 699	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐴...𝐵)) < (♯‘(𝐴...𝐶)) ↔ (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))
30	25, 29	sylib 220	1 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴...𝐵) ≺ (𝐴...𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ≺ csdm 8886  Fincfn 8887  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  irrapxlem1  43282