Theorem splfv2a 14665

Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv2a	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Proof of Theorem splfv2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14660	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfznn0 13522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
10		splfv2a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11		elfzonn0 13609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14	9, 13	addcomd 11322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15		nn0uz 12776	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	8, 15	eleqtrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
17		elfzuz3 13423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
19		elfzuz3 13423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
21		uztrn 12756	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
23		elfzuzb 13420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
24	16, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25		pfxlen 14593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
26	1, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
28	14, 27	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
29	6, 28	fveq12d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30		pfxcl 14587	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
31	1, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32		ccatcl 14483	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
33	31, 4, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34		swrdcl 14555	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36		0nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		nn0addcl 12423	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
38	36, 8, 37	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39		fzoss1 13588	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
40	39, 15	eleq2s 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42		ccatlen 14484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
43	31, 4, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
44	26	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45		lencl 14442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
48	9, 47	addcomd 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
49	43, 44, 48	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
50	49	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
51	41, 50	sseqtrrd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
52	8	nn0zd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
53		fzoaddel 13619	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
54	10, 52, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
55	51, 54	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
56	27, 55	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57		ccatval1 14486	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
58	33, 35, 56, 57	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59		ccatval3 14488	. . 3 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
60	31, 4, 10, 59	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
61	29, 58, 60	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ⟨cop 4581  ⟨cotp 4583  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013   + caddc 11016  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479   substr csubstr 14550   prefix cpfx 14580   splice csplice 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-splice 14659

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19409