Theorem splfv2a 14709

Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv2a	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Proof of Theorem splfv2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14704	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfznn0 13565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
10		splfv2a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11		elfzonn0 13653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14	9, 13	addcomd 11339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15		nn0uz 12817	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	8, 15	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
17		elfzuz3 13466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
19		elfzuz3 13466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
21		uztrn 12797	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22	18, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
23		elfzuzb 13463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
24	16, 22, 23	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25		pfxlen 14637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
26	1, 24, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
28	14, 27	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
29	6, 28	fveq12d 6841	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30		pfxcl 14631	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
31	1, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32		ccatcl 14527	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
33	31, 4, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34		swrdcl 14599	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		nn0addcl 12463	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
38	36, 8, 37	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39		fzoss1 13632	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
40	39, 15	eleq2s 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42		ccatlen 14528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
43	31, 4, 42	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
44	26	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45		lencl 14486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
48	9, 47	addcomd 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
49	43, 44, 48	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
50	49	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
51	41, 50	sseqtrrd 3960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
52	8	nn0zd 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
53		fzoaddel 13663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
54	10, 52, 53	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
55	51, 54	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
56	27, 55	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57		ccatval1 14530	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
58	33, 35, 56, 57	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59		ccatval3 14532	. . 3 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
60	31, 4, 10, 59	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
61	29, 58, 60	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624   splice csplice 14702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19461