MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv2a 14113
Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv2a (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))

Proof of Theorem splfv2a
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14108 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfznn0 12995 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11951 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
10 splfv2a.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11 elfzonn0 13077 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11951 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
149, 13addcomd 10836 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15 nn0uz 12274 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
168, 15syl6eleq 2928 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
17 elfzuz3 12900 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
19 elfzuz3 12900 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
21 uztrn 12255 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
23 elfzuzb 12897 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
2416, 22, 23sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25 pfxlen 14040 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
261, 24, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
2726oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
2814, 27eqtr4d 2864 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
296, 28fveq12d 6676 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30 pfxcl 14034 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
311, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32 ccatcl 13921 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
3331, 4, 32syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34 swrdcl 14002 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36 0nn0 11906 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
37 nn0addcl 11926 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
3836, 8, 37sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39 fzoss1 13059 . . . . . . . 8 ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4039, 15eleq2s 2936 . . . . . . 7 ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42 ccatlen 13922 . . . . . . . . 9 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
4331, 4, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
4426oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45 lencl 13878 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
464, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 11951 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
489, 47addcomd 10836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
4943, 44, 483eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5049oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5141, 50sseqtrrd 4012 . . . . 5 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
528nn0zd 12079 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
53 fzoaddel 13085 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5410, 52, 53syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5551, 54sseldd 3972 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
5627, 55eqeltrd 2918 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57 ccatval1 13925 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
5833, 35, 56, 57syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59 ccatval3 13928 . . 3 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅𝑋))
6031, 4, 10, 59syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅𝑋))
6129, 58, 603eqtrd 2865 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  cop 4570  cotp 4572  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531   + caddc 10534  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  chash 13685  Word cword 13856   ++ cconcat 13917   substr csubstr 13997   prefix cpfx 14027   splice csplice 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18559
  Copyright terms: Public domain W3C validator