MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv2a 14651
Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv2a (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))

Proof of Theorem splfv2a
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14646 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 12482 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
10 splfv2a.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11 elfzonn0 13624 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 12482 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
149, 13addcomd 11364 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15 nn0uz 12812 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
168, 15eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
17 elfzuz3 13445 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
19 elfzuz3 13445 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
21 uztrn 12788 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
2218, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
23 elfzuzb 13442 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
2416, 22, 23sylanbrc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25 pfxlen 14578 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
261, 24, 25syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
2726oveq2d 7378 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
2814, 27eqtr4d 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
296, 28fveq12d 6854 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30 pfxcl 14572 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
311, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32 ccatcl 14469 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
3331, 4, 32syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34 swrdcl 14540 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
37 nn0addcl 12455 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
3836, 8, 37sylancr 588 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39 fzoss1 13606 . . . . . . . 8 ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4039, 15eleq2s 2856 . . . . . . 7 ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42 ccatlen 14470 . . . . . . . . 9 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
4331, 4, 42syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
4426oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45 lencl 14428 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
464, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 12482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
489, 47addcomd 11364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
4943, 44, 483eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5049oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5141, 50sseqtrrd 3990 . . . . 5 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
528nn0zd 12532 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
53 fzoaddel 13632 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5410, 52, 53syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5551, 54sseldd 3950 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
5627, 55eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57 ccatval1 14472 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
5833, 35, 56, 57syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59 ccatval3 14474 . . 3 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅𝑋))
6031, 4, 10, 59syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅𝑋))
6129, 58, 603eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915  cop 4597  cotp 4599  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   + caddc 11061  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565   splice csplice 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19284
  Copyright terms: Public domain W3C validator