Theorem splfv2a 14109

Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv2a	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Proof of Theorem splfv2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14104	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfznn0 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 11945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
10		splfv2a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11		elfzonn0 13077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 11945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14	9, 13	addcomd 10831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15		nn0uz 12268	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	8, 15	eleqtrdi 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
17		elfzuz3 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
19		elfzuz3 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
21		uztrn 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22	18, 20, 21	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
23		elfzuzb 12896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
24	16, 22, 23	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25		pfxlen 14036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
26	1, 24, 25	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
28	14, 27	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
29	6, 28	fveq12d 6652	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30		pfxcl 14030	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
31	1, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32		ccatcl 13917	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
33	31, 4, 32	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34		swrdcl 13998	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36		0nn0 11900	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		nn0addcl 11920	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
38	36, 8, 37	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39		fzoss1 13059	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
40	39, 15	eleq2s 2908	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42		ccatlen 13918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
43	31, 4, 42	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
44	26	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45		lencl 13876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
48	9, 47	addcomd 10831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
49	43, 44, 48	3eqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
50	49	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
51	41, 50	sseqtrrd 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
52	8	nn0zd 12073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
53		fzoaddel 13085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
54	10, 52, 53	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
55	51, 54	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
56	27, 55	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57		ccatval1 13921	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
58	33, 35, 56, 57	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59		ccatval3 13924	. . 3 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
60	31, 4, 10, 59	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
61	29, 58, 60	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526   + caddc 10529  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   ++ cconcat 13913   substr csubstr 13993   prefix cpfx 14023   splice csplice 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18615