Theorem splfv2a 14721

Description: Symbols within the replacement region of a splice, expressed using the coordinates of the replacement region. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv2a	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Proof of Theorem splfv2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14716	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfznn0 13581	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
10		splfv2a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11		elfzonn0 13668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14	9, 13	addcomd 11376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15		nn0uz 12835	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	8, 15	eleqtrdi 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
17		elfzuz3 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
19		elfzuz3 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
21		uztrn 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
23		elfzuzb 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
24	16, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
25		pfxlen 14648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
26	1, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (𝑋 + 𝐹))
28	14, 27	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
29	6, 28	fveq12d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
30		pfxcl 14642	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
31	1, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
32		ccatcl 14539	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
33	31, 4, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
34		swrdcl 14610	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
36		0nn0 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		nn0addcl 12477	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
38	36, 8, 37	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
39		fzoss1 13647	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
40	39, 15	eleq2s 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
42		ccatlen 14540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
43	31, 4, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
44	26	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45		lencl 14498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
48	9, 47	addcomd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
49	43, 44, 48	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
50	49	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
51	41, 50	sseqtrrd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
52	8	nn0zd 12555	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
53		fzoaddel 13678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
54	10, 52, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
55	51, 54	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
56	27, 55	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
57		ccatval1 14542	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
58	33, 35, 56, 57	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))))
59		ccatval3 14544	. . 3 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
60	31, 4, 10, 59	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) = (𝑅‘𝑋))
61	29, 58, 60	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   splice csplice 14714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19425