Theorem sermono 13959

Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sermono.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sermono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
sermono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sermono	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sermono

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sermono.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		elfzuz 13441	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		sermono.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uztrn 12771	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		elfzuz3 13442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
8		fzss2 13485	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	9	sselda 3937	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
11		sermono.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14		readdcl 11111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
16	5, 13, 15	seqcl 13947	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
17		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19		sermono.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
20	19	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
23	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 12763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
26	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		eluzelz 12763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		peano2zm 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31		elfzelz 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
33		1zzd 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
34		fzaddel 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
35	25, 30, 32, 33, 34	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
36	22, 35	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
37		zcn 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		npcan 11390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
41	28, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
42	41	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
43	36, 42	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
44	18, 21, 43	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
45		fzelp1 13497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
47	41	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
48	46, 47	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
49	48, 16	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
50	17	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
51	11	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
53		fzss1 13484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	23, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
55		fzp1elp1 13498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
57	56, 47	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
58	54, 57	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
59	50, 52, 58	rspcdva 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	49, 59	addge01d 11726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
61	44, 60	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
62	48, 5	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63		seqp1 13941	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
65	61, 64	breqtrrd 5123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
66	1, 16, 65	monoord 13957	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  seqcseq 13926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927

This theorem is referenced by:  cvgcmp  15741  isumsup2  15771  climcnds  15776  ovolunlem1a  25413  mblfinlem2  37640