MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sermono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sermono 13040
Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
sermono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
sermono.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
sermono (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sermono
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 elfzuz 12545 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
3 sermono.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
4 uztrn 11910 . . . 4 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
52, 3, 4syl2anr 584 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 elfzuz3 12546 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
76adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
8 fzss2 12588 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑘) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
109sselda 3752 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
11 sermono.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1211adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1310, 12syldan 579 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
14 readdcl 10225 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
1514adantl 467 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
165, 13, 15seqcl 13028 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
17 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817breq2d 4799 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19 sermono.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
2019ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
2120adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
22 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
233adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluzelz 11903 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
261adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
27 eluzelz 11903 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 peano2zm 11627 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31 elfzelz 12549 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
33 1zzd 11615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
34 fzaddel 12582 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3525, 30, 32, 33, 34syl22anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3622, 35mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
37 zcn 11589 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10200 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
39 npcan 10496 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4037, 38, 39sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4128, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4241oveq2d 6812 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
4336, 42eleqtrd 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
4418, 21, 43rspcdva 3466 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
45 fzelp1 12600 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4645adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4741oveq2d 6812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
4846, 47eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
4948, 16syldan 579 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
5017eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5111ralrimiva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5251adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
53 fzss1 12587 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
5423, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
55 fzp1elp1 12601 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5655adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5756, 47eleqtrd 2852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
5854, 57sseldd 3753 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5950, 52, 58rspcdva 3466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6049, 59addge01d 10821 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6144, 60mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6248, 5syldan 579 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
63 seqp1 13023 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6462, 63syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6561, 64breqtrrd 4815 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
661, 16, 65monoord 13038 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cle 10281  cmin 10472  cz 11584  cuz 11893  ...cfz 12533  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-seq 13009
This theorem is referenced by:  cvgcmp  14755  isumsup2  14785  climcnds  14790  ovolunlem1a  23484  mblfinlem2  33779
  Copyright terms: Public domain W3C validator