MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sermono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sermono 13220
Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
sermono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
sermono.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
sermono (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sermono
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 elfzuz 12723 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
3 sermono.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
4 uztrn 12078 . . . 4 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
52, 3, 4syl2anr 587 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 elfzuz3 12724 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
76adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
8 fzss2 12766 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑘) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
109sselda 3860 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
11 sermono.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1211adantlr 702 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1310, 12syldan 582 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
14 readdcl 10420 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
1514adantl 474 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
165, 13, 15seqcl 13208 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
17 fveq2 6501 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817breq2d 4942 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19 sermono.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
2019ralrimiva 3132 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
2120adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
233adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluzelz 12071 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
261adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
27 eluzelz 12071 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 peano2zm 11841 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31 elfzelz 12727 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
33 1zzd 11829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
34 fzaddel 12760 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3525, 30, 32, 33, 34syl22anc 826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
3622, 35mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
37 zcn 11801 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10395 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
39 npcan 10698 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4037, 38, 39sylancl 577 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4128, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4241oveq2d 6994 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
4336, 42eleqtrd 2868 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
4418, 21, 43rspcdva 3541 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
45 fzelp1 12778 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4645adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4741oveq2d 6994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
4846, 47eleqtrd 2868 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
4948, 16syldan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
5017eleq1d 2850 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5111ralrimiva 3132 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5251adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
53 fzss1 12765 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
5423, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
55 fzp1elp1 12779 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5655adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5756, 47eleqtrd 2868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
5854, 57sseldd 3861 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5950, 52, 58rspcdva 3541 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6049, 59addge01d 11031 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6144, 60mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6248, 5syldan 582 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
63 seqp1 13202 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6462, 63syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6561, 64breqtrrd 4958 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
661, 16, 65monoord 13218 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wss 3831   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340  cle 10477  cmin 10672  cz 11796  cuz 12061  ...cfz 12711  seqcseq 13187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-seq 13188
This theorem is referenced by:  cvgcmp  15034  isumsup2  15064  climcnds  15069  ovolunlem1a  23803  mblfinlem2  34371
  Copyright terms: Public domain W3C validator