Theorem sermono 13608

Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sermono.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sermono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
sermono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sermono	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sermono

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sermono.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		elfzuz 13108	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		sermono.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uztrn 12456	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	2, 3, 4	syl2anr 600	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		elfzuz3 13109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7	6	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
8		fzss2 13152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝑀...𝑘) ⊆ (𝑀...𝑁))
10	9	sselda 3901	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
11		sermono.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12	syldan 594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14		readdcl 10812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
16	5, 13, 15	seqcl 13596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
17		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18	17	breq2d 5065	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
19		sermono.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
20	19	ralrimiva 3105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
22		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
23	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluzelz 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
26	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		eluzelz 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		peano2zm 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31		elfzelz 13112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	31	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
33		1zzd 12208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
34		fzaddel 13146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
35	25, 30, 32, 33, 34	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
36	22, 35	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
37		zcn 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		npcan 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
40	37, 38, 39	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
41	28, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
42	41	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
43	36, 42	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
44	18, 21, 43	rspcdva 3539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
45		fzelp1 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
46	45	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
47	41	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
48	46, 47	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
49	48, 16	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
50	17	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
51	11	ralrimiva 3105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
53		fzss1 13151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	23, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
55		fzp1elp1 13165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
56	55	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
57	56, 47	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
58	54, 57	sseldd 3902	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
59	50, 52, 58	rspcdva 3539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	49, 59	addge01d 11420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
61	44, 60	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
62	48, 5	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63		seqp1 13589	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
65	61, 64	breqtrrd 5081	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
66	1, 16, 65	monoord 13606	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  seqcseq 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575

This theorem is referenced by:  cvgcmp  15380  isumsup2  15410  climcnds  15415  ovolunlem1a  24393  mblfinlem2  35552