Theorem vdwlem4 16896

Description: Lemma for vdw 16906. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem vdwlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem4.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
3		vdwlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑉 ∈ ℕ)
5		vdwlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑊 ∈ ℕ)
7		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑥 ∈ (1...𝑉))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑦 ∈ (1...𝑊))
9	4, 6, 7, 8	vdwlem3 16895	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
10	2, 9	ffvelcdmd 7018	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))) ∈ 𝑅)
11	10	fmpttd 7048	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅)
12		vdwlem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → 𝑅 ∈ Fin)
14		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (1...𝑊) ∈ V
15		elmapg 8763	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑊) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
17	11, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)))
18		vdwlem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
19	17, 18	fmptd 7047	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  ℕcn 12125  2c2 12180  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  vdwlem5  16897  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901