Theorem vdwlem4 16955

Description: Lemma for vdw 16965. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem vdwlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem4.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
2	1	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
3		vdwlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑉 ∈ ℕ)
5		vdwlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
6	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑊 ∈ ℕ)
7		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑥 ∈ (1...𝑉))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑦 ∈ (1...𝑊))
9	4, 6, 7, 8	vdwlem3 16954	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
10	2, 9	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))) ∈ 𝑅)
11	10	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅)
12		vdwlem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → 𝑅 ∈ Fin)
14		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (1...𝑊) ∈ V
15		elmapg 8786	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑊) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
17	11, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)))
18		vdwlem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
19	17, 18	fmptd 7066	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  vdwlem9  16960