Theorem vdwlem4 17077

Description: Lemma for vdw 17087. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem vdwlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem4.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
2	1	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
3		vdwlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑉 ∈ ℕ)
5		vdwlem3.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑊 ∈ ℕ)
7		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑥 ∈ (1...𝑉))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑦 ∈ (1...𝑊))
9	4, 6, 7, 8	vdwlem3 17076	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
10	2, 9	ffvelcdmd 7079	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))) ∈ 𝑅)
11	10	fmpttd 7109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅)
12		vdwlem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → 𝑅 ∈ Fin)
14		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (1...𝑊) ∈ V
15		elmapg 8839	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑊) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
17	11, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑊)))
18		vdwlem4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
19	17, 18	fmptd 7108	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  ℕcn 12258  2c2 12320  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563

This theorem is used by:  vdwlem5  17078  vdwlem6  17079  vdwlem9  17082