MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem3 16920
Description: Lemma for vdw 16931. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
vdwlem3.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (1...๐‘‰))
vdwlem3.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (1...๐‘Š))
Assertion
Ref Expression
vdwlem3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))

Proof of Theorem vdwlem3
StepHypRef Expression
1 vdwlem3.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (1...๐‘Š))
2 elfznn 13534 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4 vdwlem3.w . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 vdwlem3.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (1...๐‘‰))
6 elfznn 13534 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8 nnm1nn0 12517 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
10 vdwlem3.v . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
11 nn0nnaddcl 12507 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
134, 12nnmulcld 12269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
143, 13nnaddcld 12268 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ โ„•)
1514nnred 12231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ โ„)
167, 10nnaddcld 12268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
174, 16nnmulcld 12269 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
1817nnred 12231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
19 2nn 12289 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
20 nnmulcl 12240 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
2119, 10, 20sylancr 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
224, 21nnmulcld 12269 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
2322nnred 12231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
24 elfzle2 13509 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘Š)
251, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘Š)
26 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
27 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
28 nnre 12223 . . . . . . 7 ((๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
29 leadd1 11686 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
3026, 27, 28, 29syl3an 1160 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
313, 4, 13, 30syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
3225, 31mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
334nncnd 12232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3512nncnd 12232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 35adddid 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
379nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3810nncnd 12232 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3934, 37, 38addassd 11240 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ด โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
40 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
417nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 pncan3 11472 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด โˆ’ 1)) = ๐ด)
4340, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ด โˆ’ 1)) = ๐ด)
4443oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ด โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (๐ด + ๐‘‰))
4539, 44eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐ด + ๐‘‰))
4645oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)))
4733mulridd 11235 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท 1) = ๐‘Š)
4847oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
4936, 46, 483eqtr3d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
5032, 49breqtrrd 5176 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)))
517nnred 12231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5210nnred 12231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
53 elfzle2 13509 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘‰)
545, 53syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘‰)
5551, 52, 52, 54leadd1dd 11832 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (๐‘‰ + ๐‘‰))
56382timesd 12459 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) = (๐‘‰ + ๐‘‰))
5755, 56breqtrrd 5176 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰))
5816nnred 12231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„)
5921nnred 12231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
604nnred 12231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
614nngt0d 12265 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘Š)
62 lemul2 12071 . . . . 5 (((๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Š)) โ†’ ((๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
6358, 59, 60, 61, 62syl112anc 1374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
6457, 63mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
6515, 18, 23, 50, 64letrd 11375 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
66 nnuz 12869 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6714, 66eleqtrdi 2843 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6822nnzd 12589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
69 elfz5 13497 . . 3 (((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))) โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
7067, 68, 69syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))) โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
7165, 70mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489
This theorem is referenced by:  vdwlem4  16921  vdwlem6  16923
  Copyright terms: Public domain W3C validator