MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem3 16916
Description: Lemma for vdw 16927. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
vdwlem3.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (1...๐‘‰))
vdwlem3.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (1...๐‘Š))
Assertion
Ref Expression
vdwlem3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))

Proof of Theorem vdwlem3
StepHypRef Expression
1 vdwlem3.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (1...๐‘Š))
2 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4 vdwlem3.w . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 vdwlem3.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (1...๐‘‰))
6 elfznn 13530 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8 nnm1nn0 12513 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
10 vdwlem3.v . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
11 nn0nnaddcl 12503 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
134, 12nnmulcld 12265 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
143, 13nnaddcld 12264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ โ„•)
1514nnred 12227 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ โ„)
167, 10nnaddcld 12264 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
174, 16nnmulcld 12265 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
1817nnred 12227 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
19 2nn 12285 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
20 nnmulcl 12236 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
2119, 10, 20sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
224, 21nnmulcld 12265 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
2322nnred 12227 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
24 elfzle2 13505 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘Š)
251, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘Š)
26 nnre 12219 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
27 nnre 12219 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
28 nnre 12219 . . . . . . 7 ((๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„)
29 leadd1 11682 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
3026, 27, 28, 29syl3an 1161 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
313, 4, 13, 30syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘Š โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
3225, 31mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
334nncnd 12228 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11209 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3512nncnd 12228 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 35adddid 11238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
379nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3810nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3934, 37, 38addassd 11236 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ด โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
40 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
417nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42 pncan3 11468 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด โˆ’ 1)) = ๐ด)
4340, 41, 42sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ด โˆ’ 1)) = ๐ด)
4443oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ด โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (๐ด + ๐‘‰))
4539, 44eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐ด + ๐‘‰))
4645oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)))
4733mulridd 11231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท 1) = ๐‘Š)
4847oveq1d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
4936, 46, 483eqtr3d 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
5032, 49breqtrrd 5177 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)))
517nnred 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5210nnred 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
53 elfzle2 13505 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘‰)
545, 53syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘‰)
5551, 52, 52, 54leadd1dd 11828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (๐‘‰ + ๐‘‰))
56382timesd 12455 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) = (๐‘‰ + ๐‘‰))
5755, 56breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰))
5816nnred 12227 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„)
5921nnred 12227 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
604nnred 12227 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
614nngt0d 12261 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘Š)
62 lemul2 12067 . . . . 5 (((๐ด + ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Š)) โ†’ ((๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
6358, 59, 60, 61, 62syl112anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
6457, 63mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ด + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
6515, 18, 23, 50, 64letrd 11371 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
66 nnuz 12865 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6714, 66eleqtrdi 2844 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6822nnzd 12585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
69 elfz5 13493 . . 3 (((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))) โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
7067, 68, 69syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))) โ†” (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
7165, 70mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (๐‘Š ยท ((๐ด โˆ’ 1) + ๐‘‰))) โˆˆ (1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485
This theorem is referenced by:  vdwlem4  16917  vdwlem6  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator