MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem9 16926
Description: Lemma for vdw 16931. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem9.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
vdwlem9.s (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem9.g (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
vdwlem9.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.a (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
vdwlem9.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem9 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘“,๐‘ฆ,๐‘‰   ๐‘“,๐‘Š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘”,๐น,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘›,๐‘ ,๐พ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘€,๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘“,๐‘”,๐‘›,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘›,๐‘ )   ๐ป(๐‘“,๐‘›,๐‘ )   ๐‘€(๐‘ )   ๐‘‰(๐‘”,๐‘›,๐‘ )   ๐‘Š(๐‘”,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘‘ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” ๐พ MonoAP ๐น))
2 vdwlem9.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
3 vdwlem9.v . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
4 vdwlem9.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 vdw.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
6 vdwlem9.h . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
7 vdwlem9.f . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
83, 4, 5, 6, 7vdwlem4 16921 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
9 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โˆˆ V
10 ovex 7444 . . . . 5 (1...๐‘‰) โˆˆ V
119, 10elmap 8867 . . . 4 (๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)) โ†” ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
128, 11sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)))
131, 2, 12rspcdva 3613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ MonoAP ๐น)
14 vdwlem9.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
15 eluz2nn 12872 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 12536 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1810, 17, 8vdwmc 16915 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†” โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”})))
19 vdwlem9.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
2216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
23 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
24 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
25 vdwapid1 16912 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2721, 26sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
288ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
30 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . 12 (๐น Fn (1...๐‘‰) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3227, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”))
3332simprd 496 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)
348adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3532simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰))
3634, 35ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3733, 36eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
38 rsp 3244 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
3920, 37, 38sylc 65 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
403adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
425adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
436adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
44 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
46 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (1...๐‘Š) โˆˆ V
47 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘Š) โˆˆ V) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4842, 46, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4937, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…)
5014adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5140, 41, 42, 43, 7, 45, 49, 50, 23, 24, 21vdwlem7 16924 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
52 olc 866 . . . . . . . . . 10 ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
5451, 53jaod 857 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
55 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘Ž โˆ’ 1))
5655oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰) = ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))
5756oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
5857oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
5958fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
6059mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6146mptex 7227 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โˆˆ V
6260, 7, 61fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6335, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6463, 33eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = ๐‘”)
6564breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
6617adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
67 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
69 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7023, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
71 nn0nnaddcl 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7270, 40, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7341, 72nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7423, 40nnaddcld 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7541, 74nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
77 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„•
78 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7977, 3, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
804, 79nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
8180nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8323nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
8440nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
85 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8783, 84, 84, 86leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (๐‘‰ + ๐‘‰))
8840nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
89882timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) = (๐‘‰ + ๐‘‰))
9087, 89breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰))
9174nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9279nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9441nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
9541nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 0 < ๐‘Š)
96 lemul2 12071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9791, 93, 94, 95, 96syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9890, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
99 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) โ†” ((๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
10076, 82, 98, 99syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))))
10141nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
102 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10370nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
104103, 88addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
105101, 102, 104adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
106102, 103, 88addassd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
107 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„‚
10823nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
109 pncan3 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
110107, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
111110oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
112106, 111eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
113112oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)))
114101mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท 1) = ๐‘Š)
115114oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
116105, 113, 1153eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
117116fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
118100, 117eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
119 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
120119cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
12142, 68, 41, 73, 43, 118, 120vdwlem2 16919 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
12265, 121sylbird 259 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
123122orim2d 965 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12454, 123syld 47 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12539, 124mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
126125expr 457 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
127126rexlimdvva 3211 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
128127exlimdv 1936 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12918, 128sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
13013, 129mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ—กccnv 5675   โ€œ cima 5679   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  APcvdwa 16902   MonoAP cvdwm 16903   PolyAP cvdwp 16904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-hash 14295  df-vdwap 16905  df-vdwmc 16906  df-vdwpc 16907
This theorem is referenced by:  vdwlem10  16927
  Copyright terms: Public domain W3C validator