MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem9 16918
Description: Lemma for vdw 16923. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem9.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
vdwlem9.s (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem9.g (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
vdwlem9.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.a (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
vdwlem9.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem9 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘“,๐‘ฆ,๐‘‰   ๐‘“,๐‘Š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘”,๐น,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘›,๐‘ ,๐พ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘€,๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘“,๐‘”,๐‘›,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘›,๐‘ )   ๐ป(๐‘“,๐‘›,๐‘ )   ๐‘€(๐‘ )   ๐‘‰(๐‘”,๐‘›,๐‘ )   ๐‘Š(๐‘”,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘‘ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5142 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” ๐พ MonoAP ๐น))
2 vdwlem9.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
3 vdwlem9.v . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
4 vdwlem9.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 vdw.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
6 vdwlem9.h . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
7 vdwlem9.f . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
83, 4, 5, 6, 7vdwlem4 16913 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
9 ovex 7434 . . . . 5 (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โˆˆ V
10 ovex 7434 . . . . 5 (1...๐‘‰) โˆˆ V
119, 10elmap 8860 . . . 4 (๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)) โ†” ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
128, 11sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)))
131, 2, 12rspcdva 3605 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ MonoAP ๐น)
14 vdwlem9.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
15 eluz2nn 12864 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 12528 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1810, 17, 8vdwmc 16907 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†” โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”})))
19 vdwlem9.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
2216adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
23 simprll 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
24 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
25 vdwapid1 16904 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2721, 26sseldd 3975 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
288ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
30 fniniseg 7051 . . . . . . . . . . . 12 (๐น Fn (1...๐‘‰) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3227, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”))
3332simprd 495 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)
348adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3532simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰))
3634, 35ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3733, 36eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
38 rsp 3236 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
3920, 37, 38sylc 65 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
403adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
425adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
436adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
44 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
46 ovex 7434 . . . . . . . . . . . 12 (1...๐‘Š) โˆˆ V
47 elmapg 8828 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘Š) โˆˆ V) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4842, 46, 47sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4937, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…)
5014adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5140, 41, 42, 43, 7, 45, 49, 50, 23, 24, 21vdwlem7 16916 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
52 olc 865 . . . . . . . . . 10 ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
5451, 53jaod 856 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
55 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘Ž โˆ’ 1))
5655oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰) = ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))
5756oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
5857oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
5958fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
6059mpteq2dv 5240 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6146mptex 7216 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โˆˆ V
6260, 7, 61fvmpt 6988 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6335, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6463, 33eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = ๐‘”)
6564breq2d 5150 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
6617adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
67 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
69 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7023, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
71 nn0nnaddcl 12499 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7270, 40, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7341, 72nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7423, 40nnaddcld 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7541, 74nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
77 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„•
78 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7977, 3, 78sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
804, 79nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
8180nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8323nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
8440nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
85 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8783, 84, 84, 86leadd1dd 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (๐‘‰ + ๐‘‰))
8840nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
89882timesd 12451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) = (๐‘‰ + ๐‘‰))
9087, 89breqtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰))
9174nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9279nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9441nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
9541nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 0 < ๐‘Š)
96 lemul2 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9791, 93, 94, 95, 96syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9890, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
99 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) โ†” ((๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
10076, 82, 98, 99syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))))
10141nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
102 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10370nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
104103, 88addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
105101, 102, 104adddid 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
106102, 103, 88addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
107 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„‚
10823nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
109 pncan3 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
110107, 108, 109sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
111110oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
112106, 111eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
113112oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)))
114101mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท 1) = ๐‘Š)
115114oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
116105, 113, 1153eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
117116fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
118100, 117eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
119 fvoveq1 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
120119cbvmptv 5251 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
12142, 68, 41, 73, 43, 118, 120vdwlem2 16911 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
12265, 121sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
123122orim2d 963 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12454, 123syld 47 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12539, 124mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
126125expr 456 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
127126rexlimdvva 3203 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
128127exlimdv 1928 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12918, 128sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
13013, 129mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   โІ wss 3940  {csn 4620  โŸจcop 4626   class class class wbr 5138   โ†ฆ cmpt 5221  โ—กccnv 5665   โ€œ cima 5669   Fn wfn 6528  โŸถwf 6529  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โ†‘m cmap 8815  Fincfn 8934  โ„‚cc 11103  โ„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   ยท cmul 11110   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  APcvdwa 16894   MonoAP cvdwm 16895   PolyAP cvdwp 16896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-hash 14287  df-vdwap 16897  df-vdwmc 16898  df-vdwpc 16899
This theorem is referenced by:  vdwlem10  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator