MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem9 16918
Description: Lemma for vdw 16923. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem9.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
vdwlem9.s (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem9.g (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
vdwlem9.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
vdwlem9.a (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem9.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
vdwlem9.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem9 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘“,๐‘ฆ,๐‘‰   ๐‘“,๐‘Š,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘”,๐น,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘›,๐‘ ,๐พ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘€,๐‘”,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘“,๐‘”,๐‘›,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘›,๐‘ )   ๐ป(๐‘“,๐‘›,๐‘ )   ๐‘€(๐‘ )   ๐‘‰(๐‘”,๐‘›,๐‘ )   ๐‘Š(๐‘”,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘‘ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” ๐พ MonoAP ๐น))
2 vdwlem9.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰))๐พ MonoAP ๐‘“)
3 vdwlem9.v . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
4 vdwlem9.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 vdw.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
6 vdwlem9.h . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
7 vdwlem9.f . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
83, 4, 5, 6, 7vdwlem4 16913 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
9 ovex 7438 . . . . 5 (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โˆˆ V
10 ovex 7438 . . . . 5 (1...๐‘‰) โˆˆ V
119, 10elmap 8861 . . . 4 (๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)) โ†” ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
128, 11sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†‘m (1...๐‘‰)))
131, 2, 12rspcdva 3613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ MonoAP ๐น)
14 vdwlem9.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
15 eluz2nn 12864 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 12528 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1810, 17, 8vdwmc 16907 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†” โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”})))
19 vdwlem9.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
2216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
23 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
24 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
25 vdwapid1 16904 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
2721, 26sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))
288ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น Fn (1...๐‘‰))
30 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . . 12 (๐น Fn (1...๐‘‰) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)))
3227, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โˆง (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”))
3332simprd 496 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = ๐‘”)
348adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐น:(1...๐‘‰)โŸถ(๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3532simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰))
3634, 35ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
3733, 36eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)))
38 rsp 3244 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
3920, 37, 38sylc 65 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
403adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•)
414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
425adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
436adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐ป:(1...(๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))โŸถ๐‘…)
44 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
46 ovex 7438 . . . . . . . . . . . 12 (1...๐‘Š) โˆˆ V
47 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘Š) โˆˆ V) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4842, 46, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘Š)) โ†” ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…))
4937, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘”:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…)
5014adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5140, 41, 42, 43, 7, 45, 49, 50, 23, 24, 21vdwlem7 16916 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
52 olc 866 . . . . . . . . . 10 ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
5451, 53jaod 857 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
55 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘Ž โˆ’ 1))
5655oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰) = ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))
5756oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
5857oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
5958fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
6059mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6146mptex 7221 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โˆˆ V
6260, 7, 61fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6335, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))))
6463, 33eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = ๐‘”)
6564breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
6617adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
67 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
69 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7023, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
71 nn0nnaddcl 12499 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7270, 40, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7341, 72nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7423, 40nnaddcld 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7541, 74nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
77 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„•
78 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
7977, 3, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„•)
804, 79nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„•)
8180nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค)
8323nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
8440nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
85 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž โˆˆ (1...๐‘‰) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8635, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘‰)
8783, 84, 84, 86leadd1dd 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (๐‘‰ + ๐‘‰))
8840nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
89882timesd 12451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) = (๐‘‰ + ๐‘‰))
9087, 89breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰))
9174nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9279nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
9441nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„)
9541nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 0 < ๐‘Š)
96 lemul2 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž + ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Š โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9791, 93, 94, 95, 96syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘‰) โ‰ค (2 ยท ๐‘‰) โ†” (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
9890, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)))
99 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) โ†” ((๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) โ‰ค (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰))))
10076, 82, 98, 99syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))))
10141nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
102 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10370nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
104103, 88addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
105101, 102, 104adddid 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
106102, 103, 88addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))
107 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„‚
10823nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
109 pncan3 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
110107, 108, 109sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) = ๐‘Ž)
111110oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((1 + (๐‘Ž โˆ’ 1)) + ๐‘‰) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
112106, 111eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)) = (๐‘Ž + ๐‘‰))
113112oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (1 + ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)))
114101mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท 1) = ๐‘Š)
115114oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐‘Š ยท 1) + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
116105, 113, 1153eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰)) = (๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))
117116fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š ยท (๐‘Ž + ๐‘‰))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
118100, 117eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (๐‘Š ยท (2 ยท ๐‘‰)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
119 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))) = (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
120119cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ง + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰)))))
12142, 68, 41, 73, 43, 118, 120vdwlem2 16911 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐ปโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘Š ยท ((๐‘Ž โˆ’ 1) + ๐‘‰))))) โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
12265, 121sylbird 259 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†’ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
123122orim2d 965 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12454, 123syld 47 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ ((โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12539, 124mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}))) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
126125expr 457 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
127126rexlimdvva 3211 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
128127exlimdv 1936 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘”โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘”}) โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
12918, 128sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป)))
13013, 129mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐‘€ + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐ป โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐ป))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โŸจcop 4633   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ—กccnv 5674   โ€œ cima 5678   Fn wfn 6535  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  APcvdwa 16894   MonoAP cvdwm 16895   PolyAP cvdwp 16896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-hash 14287  df-vdwap 16897  df-vdwmc 16898  df-vdwpc 16899
This theorem is referenced by:  vdwlem10  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator