Theorem vdwlem5 16945

Description: Lemma for vdw 16954. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem7.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
vdwlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem7.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem7.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
vdwlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
vdwlem6.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem6.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐵 + (𝐸‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (◡𝐺 “ {(𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖)))}))
vdwlem6.j	⊢ 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖))))
vdwlem6.r	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
vdwlem6.p	⊢ 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (𝐸‘𝑗)) + (𝑊 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑥,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥   𝑃,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑦   𝐷,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑊,𝑗,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem6.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
2		vdwlem6.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		vdwlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ0)
5		vdwlem7.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		vdwlem3.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
8		vdwlem7.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℂ)
11	5	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	npcand 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) = (𝑉 − 𝐷))
13	7, 9, 11	subsub4d 11624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)))
14	9, 11	addcomd 11438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐷))
15	14	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
17		cnvimass 6079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ dom 𝐹
18		vdwlem4.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
19		vdwlem4.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
20		vdwlem4.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
21	6, 3, 18, 19, 20	vdwlem4 16944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))
22	17, 21	fssdm 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ (1...𝑉))
23		vdwlem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
24		ssun2 4169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
25		vdwlem7.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
28	5, 8	nnaddcld 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
29		vdwapid1 16935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
30	27, 28, 8, 29	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
31	24, 30	sselid 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
32		eluz2nn 12890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	34, 35, 36	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
38	37	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
39	38	oveqd 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
40		nnm1nn0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
42		vdwapun 16934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
43	41, 5, 8, 42	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
44	39, 43	eqtr3d 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
45	31, 44	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
46	23, 45	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (◡𝐹 “ {𝐺}))
47	22, 46	sseldd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉))
48		elfzuz3 13522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉) → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
50		uznn0sub 12883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
52	16, 51	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0)
53		nn0nnaddcl 12525	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
54	52, 5, 53	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
55	12, 54	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℕ)
56	5, 55	nnaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ)
57		nnm1nn0 12535	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
59	4, 58	nn0mulcld 12559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0)
60		nnnn0addcl 12524	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0) → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
61	2, 59, 60	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
62	1, 61	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  ℂcc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   − cmin 11466  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤ_≥cuz 12844  ...cfz 13508  ♯chash 14313  APcvdwa 16925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-vdwap 16928

This theorem is referenced by:  vdwlem6  16946