MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem5 15889
Description: Lemma for vdw 15898. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h (𝜑𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem7.g (𝜑𝐺:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem7.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
vdwlem7.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem7.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem7.s (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐹 “ {𝐺}))
vdwlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
vdwlem6.e (𝜑𝐸:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem6.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐵 + (𝐸𝑖))(AP‘𝐾)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐺 “ {(𝐺‘(𝐵 + (𝐸𝑖)))}))
vdwlem6.j 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (𝐺‘(𝐵 + (𝐸𝑖))))
vdwlem6.r (𝜑 → (♯‘ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1)))
vdwlem6.p 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (𝐸𝑗)) + (𝑊 · 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem5 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑥,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥   𝑃,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑦   𝐷,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑊,𝑗,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem5
StepHypRef Expression
1 vdwlem6.t . 2 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1)))
2 vdwlem6.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 vdwlem3.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11551 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℕ0)
5 vdwlem7.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
6 vdwlem3.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
76nncnd 11236 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
8 vdwlem7.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
98nncnd 11236 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
107, 9subcld 10592 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝐷) ∈ ℂ)
115nncnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11npcand 10596 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑉𝐷) − 𝐴) + 𝐴) = (𝑉𝐷))
137, 9, 11subsub4d 10623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑉𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)))
149, 11addcomd 10438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐷))
1514oveq2d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
1613, 15eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑉𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
17 cnvimass 5624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 “ {𝐺}) ⊆ dom 𝐹
18 vdwlem4.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
19 vdwlem4.h . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
20 vdwlem4.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
216, 3, 18, 19, 20vdwlem4 15888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅𝑚 (1...𝑊)))
22 fdm 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅𝑚 (1...𝑊)) → dom 𝐹 = (1...𝑉))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐹 = (1...𝑉))
2417, 23syl5sseq 3802 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ {𝐺}) ⊆ (1...𝑉))
25 vdwlem7.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐹 “ {𝐺}))
26 ssun2 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
27 vdwlem7.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
28 uz2m1nn 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
305, 8nnaddcld 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
31 vdwapid1 15879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
3229, 30, 8, 31syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
3326, 32sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
34 eluz2nn 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
3527, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3635nncnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
37 ax-1cn 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
38 npcan 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3936, 37, 38sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
4039fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
4140oveqd 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
42 nnm1nn0 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4335, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
44 vdwapun 15878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4543, 5, 8, 44syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4641, 45eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4733, 46eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
4825, 47sseldd 3753 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐹 “ {𝐺}))
4924, 48sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉))
50 elfzuz3 12539 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉) → 𝑉 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)))
52 uznn0sub 11919 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
5416, 53eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑉𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0)
55 nn0nnaddcl 11524 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑉𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
5654, 5, 55syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑉𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
5712, 56eqeltrrd 2851 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝐷) ∈ ℕ)
585, 57nnaddcld 11267 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (𝑉𝐷)) ∈ ℕ)
59 nnm1nn0 11534 . . . . 5 ((𝐴 + (𝑉𝐷)) ∈ ℕ → ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
6058, 59syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
614, 60nn0mulcld 11556 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0)
62 nnnn0addcl 11523 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0) → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
632, 61, 62syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
641, 63syl5eqel 2854 1 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cun 3721  wss 3723  ifcif 4225  {csn 4316  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007  Fincfn 8107  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  cuz 11886  ...cfz 12526  chash 13314  APcvdwa 15869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-vdwap 15872
This theorem is referenced by:  vdwlem6  15890
  Copyright terms: Public domain W3C validator