Theorem vdwlem5 17040

Description: Lemma for vdw 17049. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem7.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
vdwlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem7.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem7.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
vdwlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
vdwlem6.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem6.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐵 + (𝐸‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (◡𝐺 “ {(𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖)))}))
vdwlem6.j	⊢ 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖))))
vdwlem6.r	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
vdwlem6.p	⊢ 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (𝐸‘𝑗)) + (𝑊 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑥,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥   𝑃,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑦   𝐷,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑊,𝑗,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem6.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
2		vdwlem6.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		vdwlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ0)
5		vdwlem7.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		vdwlem3.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
8		vdwlem7.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℂ)
11	5	nncnd 12244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	npcand 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) = (𝑉 − 𝐷))
13	7, 9, 11	subsub4d 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)))
14	9, 11	addcomd 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐷))
15	14	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
17		cnvimass 6084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ dom 𝐹
18		vdwlem4.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
19		vdwlem4.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
20		vdwlem4.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
21	6, 3, 18, 19, 20	vdwlem4 17039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))
22	17, 21	fssdm 6725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ (1...𝑉))
23		vdwlem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
24		ssun2 4132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
25		vdwlem7.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
28	5, 8	nnaddcld 12283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
29		vdwapid1 17030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
30	27, 28, 8, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
31	24, 30	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
32		eluz2nn 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
33	25, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	34, 35, 36	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
38	37	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
39	38	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
40		nnm1nn0 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
41	33, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
42		vdwapun 17029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
43	41, 5, 8, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
44	39, 43	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
45	31, 44	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
46	23, 45	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (◡𝐹 “ {𝐺}))
47	22, 46	sseldd 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉))
48		elfzuz3 13544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉) → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
50		uznn0sub 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
52	16, 51	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0)
53		nn0nnaddcl 12530	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
54	52, 5, 53	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
55	12, 54	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℕ)
56	5, 55	nnaddcld 12283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ)
57		nnm1nn0 12540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
59	4, 58	nn0mulcld 12565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0)
60		nnnn0addcl 12529	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0) → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
61	2, 59, 60	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
62	1, 61	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ♯chash 14362  APcvdwa 17020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-vdwap 17023

This theorem is referenced by:  vdwlem6  17041