Theorem vdwlem5 17018

Description: Lemma for vdw 17027. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem7.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
vdwlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem7.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem7.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
vdwlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
vdwlem6.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem6.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐵 + (𝐸‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (◡𝐺 “ {(𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖)))}))
vdwlem6.j	⊢ 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖))))
vdwlem6.r	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
vdwlem6.p	⊢ 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (𝐸‘𝑗)) + (𝑊 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑥,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥   𝑃,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑦   𝐷,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑊,𝑗,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem6.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
2		vdwlem6.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		vdwlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ0)
5		vdwlem7.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		vdwlem3.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
8		vdwlem7.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℂ)
11	5	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	npcand 11621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) = (𝑉 − 𝐷))
13	7, 9, 11	subsub4d 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)))
14	9, 11	addcomd 11460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐷))
15	14	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
17		cnvimass 6101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ dom 𝐹
18		vdwlem4.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
19		vdwlem4.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
20		vdwlem4.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
21	6, 3, 18, 19, 20	vdwlem4 17017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))
22	17, 21	fssdm 6755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ (1...𝑉))
23		vdwlem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
24		ssun2 4188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
25		vdwlem7.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
28	5, 8	nnaddcld 12315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
29		vdwapid1 17008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
30	27, 28, 8, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
31	24, 30	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
32		eluz2nn 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	34, 35, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
38	37	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
39	38	oveqd 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
40		nnm1nn0 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
42		vdwapun 17007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
43	41, 5, 8, 42	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
44	39, 43	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
45	31, 44	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
46	23, 45	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (◡𝐹 “ {𝐺}))
47	22, 46	sseldd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉))
48		elfzuz3 13557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉) → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
50		uznn0sub 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
52	16, 51	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0)
53		nn0nnaddcl 12554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
54	52, 5, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
55	12, 54	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℕ)
56	5, 55	nnaddcld 12315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ)
57		nnm1nn0 12564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
59	4, 58	nn0mulcld 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0)
60		nnnn0addcl 12553	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0) → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
61	2, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
62	1, 61	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  ran crn 5689   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  ♯chash 14365  APcvdwa 16998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-vdwap 17001

This theorem is referenced by:  vdwlem6  17019