Theorem vdwlem5 16913

Description: Lemma for vdw 16922. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem7.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
vdwlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem7.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem7.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
vdwlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
vdwlem6.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem6.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐵 + (𝐸‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (◡𝐺 “ {(𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖)))}))
vdwlem6.j	⊢ 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (𝐺‘(𝐵 + (𝐸‘𝑖))))
vdwlem6.r	⊢ (𝜑 → (♯‘ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
vdwlem6.p	⊢ 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (𝐸‘𝑗)) + (𝑊 · 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑥,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥   𝑃,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑦   𝐷,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑊,𝑗,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem6.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)))
2		vdwlem6.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		vdwlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ0)
5		vdwlem7.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		vdwlem3.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
8		vdwlem7.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℂ)
11	5	nncnd 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	npcand 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) = (𝑉 − 𝐷))
13	7, 9, 11	subsub4d 11523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)))
14	9, 11	addcomd 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐷))
15	14	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐷 + 𝐴)) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) = (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)))
17		cnvimass 6041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ dom 𝐹
18		vdwlem4.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
19		vdwlem4.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
20		vdwlem4.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
21	6, 3, 18, 19, 20	vdwlem4 16912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅 ↑m (1...𝑊)))
22	17, 21	fssdm 6681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝐺}) ⊆ (1...𝑉))
23		vdwlem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (◡𝐹 “ {𝐺}))
24		ssun2 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
25		vdwlem7.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
28	5, 8	nnaddcld 12197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
29		vdwapid1 16903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
30	27, 28, 8, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
31	24, 30	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
32		eluz2nn 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
37	34, 35, 36	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
38	37	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
39	38	oveqd 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
40		nnm1nn0 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
42		vdwapun 16902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
43	41, 5, 8, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
44	39, 43	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
45	31, 44	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
46	23, 45	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (◡𝐹 “ {𝐺}))
47	22, 46	sseldd 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉))
48		elfzuz3 13437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑉) → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)))
50		uznn0sub 12786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
52	16, 51	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0)
53		nn0nnaddcl 12432	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
54	52, 5, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 − 𝐷) − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℕ)
55	12, 54	eqeltrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝐷) ∈ ℕ)
56	5, 55	nnaddcld 12197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ)
57		nnm1nn0 12442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) ∈ ℕ → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1) ∈ ℕ0)
59	4, 58	nn0mulcld 12467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0)
60		nnnn0addcl 12431	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1)) ∈ ℕ0) → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
61	2, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 + (𝑉 − 𝐷)) − 1))) ∈ ℕ)
62	1, 61	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ♯chash 14253  APcvdwa 16893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-vdwap 16896

This theorem is referenced by:  vdwlem6  16914