Theorem vdw 16972

Description: Van der Waerden's theorem. For any finite coloring 𝑅 and integer 𝐾, there is an 𝑁 such that every coloring function from 1...𝑁 to 𝑅 contains a monochromatic arithmetic progression (which written out in full means that there is a color 𝑐 and base, increment values 𝑎, 𝑑 such that all the numbers 𝑎, 𝑎 + 𝑑, ..., 𝑎 + (𝑘 − 1)𝑑 lie in the preimage of {𝑐}, i.e. they are all in 1...𝑁 and 𝑓 evaluated at each one yields 𝑐). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdw	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑓,𝑚,𝑛,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	vdwlem13 16971	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓)
4		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
5		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
7		elmapg 8815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅))
8	6, 4, 7	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅))
9	8	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅)
10		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		nnuz 12843	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	eleqtrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzfz1 13499	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑛))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 1 ∈ (1...𝑛))
15	4, 5, 9, 14	vdwmc2 16957	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → (𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
16	15	ralbidva 3155	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
17	16	rexbidva 3156	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
18	3, 17	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  {csn 4592   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475   MonoAP cvdwm 16944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vdwap 16946  df-vdwmc 16947  df-vdwpc 16948

This theorem is referenced by:  vdwnnlem1  16973