Theorem vdw 17216

Description: Van der Waerden's theorem. For any finite coloring 𝑅 and integer 𝐾, there is an 𝑁 such that every coloring function from 1...𝑁 to 𝑅 contains a monochromatic arithmetic progression (which written out in full means that there is a color 𝑐 and base, increment values 𝑎, 𝑑 such that all the numbers 𝑎, 𝑎 + 𝑑, ..., 𝑎 + (𝑘 − 1)𝑑 lie in the preimage of {𝑐}, i.e. they are all in 1...𝑁 and 𝑓 evaluated at each one yields 𝑐). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdw	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑓,𝑚,𝑛,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	vdwlem13 17215	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓)
4		ovex 7484	. . . . 5 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
5		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
7		elmapg 8897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅))
8	6, 4, 7	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅))
9	8	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑓:(1...𝑛)⟶𝑅)
10		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		nnuz 13044	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzfz1 13704	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑛))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → 1 ∈ (1...𝑛))
15	4, 5, 9, 14	vdwmc2 17201	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))) → (𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
16	15	ralbidva 3187	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
17	16	rexbidva 3188	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))𝐾 MonoAP 𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐})))
18	3, 17	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679   MonoAP cvdwm 17188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-hash 14516  df-vdwap 17190  df-vdwmc 17191  df-vdwpc 17192

This theorem is used by:  vdwnnlem1  17217