Theorem weexenwe 35756

Description: If a well-ordering of an infinite set exists, then a well-ordering equinumerous to the set exists. (Contributed by BTernaryTau, 31-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
weexenwe	⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑟,𝑠

Proof of Theorem weexenwe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 10114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
3		weinxp 5736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 We 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
4	3	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
6		reldom 8979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex2i 5708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssdomg 9027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∈ V → ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴)))
10	8, 2, 9	mpisyl 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴))
11		infxpidm2 10096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
12		domentr 9040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
13	10, 11, 12	syl2an2 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
14	13	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
15		weso 5642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴)
16	3, 15	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴)
17		vex 3455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑟 ∈ V
18	17	inex1 5277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
19		soinfdom 35717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
20	18, 19	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
21	16, 20	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
23	22	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
24		sbth 9116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)
25	14, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)
26		sseq1 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)))
27		weeq1 5638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 We 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴))
28		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 ≈ 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴))
29	26, 27, 28	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴) ↔ ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)))
30	18, 29	spcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))
31	2, 5, 25, 30	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))
32	31	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
33	32	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
34	1, 33	sylanbr 594	. . 3 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
35	34	adantrd 497	. 2 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
36	35	pm2.43i 53	1 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   Or wor 5558   We wwe 5603   × cxp 5649  dom cdm 5651  ωcom 7877   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-card 10020

This theorem is used by:  acwer1prclem  35759