Theorem weexenwe 35889

Description: If a well-ordering of an infinite set exists, then a well-ordering equinumerous to the set exists. (Contributed by BTernaryTau, 31-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
weexenwe	⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑟,𝑠

Proof of Theorem weexenwe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 10153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		inss2 4137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
3		weinxp 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 We 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
4	3	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴)
6		reldom 9017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex2i 5715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		ssdomg 9065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∈ V → ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴)))
10	8, 2, 9	mpisyl 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴))
11		infxpidm2 10135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
12		domentr 9078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
13	10, 11, 12	syl2an2 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
14	13	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴)
15		weso 5649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴)
16	3, 15	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴)
17		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑟 ∈ V
18	17	inex1 5284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
19		soinfdom 35841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
20	18, 19	mp3an2 1479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) Or 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
21	16, 20	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
23	22	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
24		sbth 9154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)
25	14, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)
26		sseq1 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)))
27		weeq1 5645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 We 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴))
28		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → (𝑠 ≈ 𝐴 ↔ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴))
29	26, 27, 28	3anbi123d 1465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴) ↔ ((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴)))
30	18, 29	spcev 3564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) We 𝐴 ∧ (𝑟 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ≈ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))
31	2, 5, 25, 30	mp3an2i 1496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑟 We 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))
32	31	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
33	32	exlimdv 1968	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
34	1, 33	sylanbr 594	. . 3 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
35	34	adantrd 497	. 2 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴)))
36	35	pm2.43i 53	1 ⊢ ((∃𝑟 𝑟 We 𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝑠 We 𝐴 ∧ 𝑠 ≈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108   Or wor 5565   We wwe 5610   × cxp 5656  dom cdm 5658  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-oi 9541  df-card 10057

This theorem is used by:  acwer1prclem  35892