Theorem hashne0 32744

Description: Deduce that the size of a set is not zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashne0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
hashne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
hashne0	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashne0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		hashxnn0 14359	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0*)
4		hashne0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		hasheq0 14383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6	5	necon3bid 2975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
8	1, 4, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
9		xnn0gt0 32701	. 2 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0) → 0 < (♯‘𝐴))
10	3, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  0cc0 11136   < clt 11276  ℕ₀^*cxnn0 12581  ♯chash 14350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-hash 14351

This theorem is referenced by:  constrext2chnlem  33721