Theorem nmfnge0 32132

Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Proof of Theorem nmfnge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31208	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7064	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
4	3	absge0d 15476	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
5		norm0 31333	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
6		0le1 11712	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5123	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
8		nmfnlb 32129	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
9	1, 7, 8	mp3an23 1476	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
10	3	abscld 15468	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11234	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
12		nmfnxr 32084	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*)
13		0xr 11231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrletr 13162	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
15	13, 14	mp3an1 1471	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
16	11, 12, 15	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
17	4, 9, 16	mp2and 709	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  abscabs 15263   ℋchba 31124  norm_ℎcno 31128  0_ℎc0v 31129  norm_fncnmf 31156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 31204  ax-hv0cl 31208  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his3 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-hnorm 31173  df-nmfn 32050

This theorem is referenced by: (None)