Theorem nmfnge0 32448

Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Proof of Theorem nmfnge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31524	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7070	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
4	3	absge0d 15567	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
5		norm0 31649	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
6		0le1 11794	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5126	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
8		nmfnlb 32445	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
9	1, 7, 8	mp3an23 1482	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
10	3	abscld 15559	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11316	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
12		nmfnxr 32400	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*)
13		0xr 11313	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrletr 13242	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
15	13, 14	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
16	11, 12, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
17	4, 9, 16	mp2and 712	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  abscabs 15354   ℋchba 31440  norm_ℎcno 31444  0_ℎc0v 31445  norm_fncnmf 31472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-hilex 31520  ax-hv0cl 31524  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his3 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-hnorm 31489  df-nmfn 32366

This theorem is used by: (None)