Theorem nmfnge0 32416

Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Proof of Theorem nmfnge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31492	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7078	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
4	3	absge0d 15538	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
5		norm0 31617	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
6		0le1 11765	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5130	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
8		nmfnlb 32413	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
9	1, 7, 8	mp3an23 1482	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
10	3	abscld 15530	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11287	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
12		nmfnxr 32368	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*)
13		0xr 11284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrletr 13213	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
15	13, 14	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
16	11, 12, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
17	4, 9, 16	mp2and 712	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272  abscabs 15325   ℋchba 31408  norm_ℎcno 31412  0_ℎc0v 31413  norm_fncnmf 31440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-hilex 31488  ax-hv0cl 31492  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his3 31573

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-hnorm 31457  df-nmfn 32334

This theorem is used by: (None)