Theorem nmfnge0 31947

Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Proof of Theorem nmfnge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31023	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7100	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
4	3	absge0d 15484	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
5		norm0 31148	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
6		0le1 11787	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5163	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
8		nmfnlb 31944	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
9	1, 7, 8	mp3an23 1454	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇))
10	3	abscld 15476	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11312	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
12		nmfnxr 31899	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*)
13		0xr 11309	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrletr 13201	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
15	13, 14	mp3an1 1449	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
16	11, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normfn‘𝑇)) → 0 ≤ (normfn‘𝑇)))
17	4, 9, 16	mp2and 699	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  abscabs 15274   ℋchba 30939  norm_ℎcno 30943  0_ℎc0v 30944  norm_fncnmf 30971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-hilex 31019  ax-hv0cl 31023  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his3 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-hnorm 30988  df-nmfn 31865

This theorem is referenced by: (None)