HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnge0 29126
Description: The norm of any Hilbert space functional is nonnegative. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnge0 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn𝑇))

Proof of Theorem nmfnge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28200 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 ffvelrn 6500 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
31, 2mpan2 671 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
43absge0d 14391 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝑇‘0)))
5 norm0 28325 . . . 4 (norm‘0) = 0
6 0le1 10753 . . . 4 0 ≤ 1
75, 6eqbrtri 4807 . . 3 (norm‘0) ≤ 1
8 nmfnlb 29123 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ (norm‘0) ≤ 1) → (abs‘(𝑇‘0)) ≤ (normfn𝑇))
91, 7, 8mp3an23 1564 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0)) ≤ (normfn𝑇))
103abscld 14383 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ)
1110rexrd 10291 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (abs‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ*)
12 nmfnxr 29078 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) ∈ ℝ*)
13 0xr 10288 . . . 4 0 ∈ ℝ*
14 xrletr 12194 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ* ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0)) ∧ (abs‘(𝑇‘0)) ≤ (normfn𝑇)) → 0 ≤ (normfn𝑇)))
1513, 14mp3an1 1559 . . 3 (((abs‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ* ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0)) ∧ (abs‘(𝑇‘0)) ≤ (normfn𝑇)) → 0 ≤ (normfn𝑇)))
1611, 12, 15syl2anc 573 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((0 ≤ (abs‘(𝑇‘0)) ∧ (abs‘(𝑇‘0)) ≤ (normfn𝑇)) → 0 ≤ (normfn𝑇)))
174, 9, 16mp2and 679 1 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 0 ≤ (normfn𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139  *cxr 10275  cle 10277  abscabs 14182  chil 28116  normcno 28120  0c0v 28121  normfncnmf 28148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-hilex 28196  ax-hv0cl 28200  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his3 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-hnorm 28165  df-nmfn 29044
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator