Theorem nmopge0 31636

Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30728	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7074	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
4		normge0 30851	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
6		norm0 30853	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7		0le1 11735	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5160	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
9		nmoplb 31632	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
10	1, 8, 9	mp3an23 1449	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
11		normcl 30850	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11262	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
14		nmopxr 31591	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
15		0xr 11259	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		xrletr 13135	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
17	15, 16	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
18	13, 14, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
19	5, 10, 18	mp2and 696	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ℝ^*cxr 11245   ≤ cle 11247   ℋchba 30644  norm_ℎcno 30648  0_ℎc0v 30649  norm_opcnop 30670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-nmcv 30325  df-hnorm 30693  df-hba 30694  df-hvsub 30696  df-nmop 31564

This theorem is referenced by:  nmopgt0  31637  nmophmi  31756  cnlnadjlem7  31798  nmopadjlem  31814  nmopcoadji  31826  opsqrlem1  31865