Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopge0 29704
 Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopge0 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopge0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28796 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 ffvelrn 6827 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℋ)
4 normge0 28919 . . 3 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇‘0)))
53, 4syl 17 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑇‘0)))
6 norm0 28921 . . . 4 (norm‘0) = 0
7 0le1 11155 . . . 4 0 ≤ 1
86, 7eqbrtri 5052 . . 3 (norm‘0) ≤ 1
9 nmoplb 29700 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ (norm‘0) ≤ 1) → (norm‘(𝑇‘0)) ≤ (normop𝑇))
101, 8, 9mp3an23 1450 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (norm‘(𝑇‘0)) ≤ (normop𝑇))
11 normcl 28918 . . . . 5 ((𝑇‘0) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ)
123, 11syl 17 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (norm‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10683 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (norm‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ*)
14 nmopxr 29659 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) ∈ ℝ*)
15 0xr 10680 . . . 4 0 ∈ ℝ*
16 xrletr 12542 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ (norm‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ* ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (norm‘(𝑇‘0)) ∧ (norm‘(𝑇‘0)) ≤ (normop𝑇)) → 0 ≤ (normop𝑇)))
1715, 16mp3an1 1445 . . 3 (((norm‘(𝑇‘0)) ∈ ℝ* ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (norm‘(𝑇‘0)) ∧ (norm‘(𝑇‘0)) ≤ (normop𝑇)) → 0 ≤ (normop𝑇)))
1813, 14, 17syl2anc 587 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((0 ≤ (norm‘(𝑇‘0)) ∧ (norm‘(𝑇‘0)) ≤ (normop𝑇)) → 0 ≤ (normop𝑇)))
195, 10, 18mp2and 698 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668   ℋchba 28712  normℎcno 28716  0ℎc0v 28717  normopcnop 28738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-hilex 28792  ax-hfvadd 28793  ax-hvcom 28794  ax-hvass 28795  ax-hv0cl 28796  ax-hvaddid 28797  ax-hfvmul 28798  ax-hvmulid 28799  ax-hvmulass 28800  ax-hvdistr1 28801  ax-hvdistr2 28802  ax-hvmul0 28803  ax-hfi 28872  ax-his1 28875  ax-his2 28876  ax-his3 28877  ax-his4 28878 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28286  df-gid 28287  df-ablo 28338  df-vc 28352  df-nv 28385  df-va 28388  df-ba 28389  df-sm 28390  df-0v 28391  df-nmcv 28393  df-hnorm 28761  df-hba 28762  df-hvsub 28764  df-nmop 29632 This theorem is referenced by:  nmopgt0  29705  nmophmi  29824  cnlnadjlem7  29866  nmopadjlem  29882  nmopcoadji  29894  opsqrlem1  29933
 Copyright terms: Public domain W3C validator