Theorem nmopge0 29375

Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28467	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelrn 6721	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan2 687	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
4		normge0 28590	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
6		norm0 28592	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7		0le1 11017	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 4989	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
9		nmoplb 29371	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
10	1, 8, 9	mp3an23 1445	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
11		normcl 28589	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10544	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
14		nmopxr 29330	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
15		0xr 10541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		xrletr 12405	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
17	15, 16	mp3an1 1440	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
18	13, 14, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
19	5, 10, 18	mp2and 695	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  ℝcr 10389  0cc0 10390  1c1 10391  ℝ^*cxr 10527   ≤ cle 10529   ℋchba 28383  norm_ℎcno 28387  0_ℎc0v 28388  norm_opcnop 28409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-hilex 28463  ax-hfvadd 28464  ax-hvcom 28465  ax-hvass 28466  ax-hv0cl 28467  ax-hvaddid 28468  ax-hfvmul 28469  ax-hvmulid 28470  ax-hvmulass 28471  ax-hvdistr1 28472  ax-hvdistr2 28473  ax-hvmul0 28474  ax-hfi 28543  ax-his1 28546  ax-his2 28547  ax-his3 28548  ax-his4 28549

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-grpo 27957  df-gid 27958  df-ablo 28009  df-vc 28023  df-nv 28056  df-va 28059  df-ba 28060  df-sm 28061  df-0v 28062  df-nmcv 28064  df-hnorm 28432  df-hba 28433  df-hvsub 28435  df-nmop 29303

This theorem is referenced by:  nmopgt0  29376  nmophmi  29495  cnlnadjlem7  29537  nmopadjlem  29553  nmopcoadji  29565  opsqrlem1  29604