Theorem nmopge0 32204

Description: The norm of any Hilbert space operator is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopge0	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31296	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ffvelcdm 7077	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ)
4		normge0 31419	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
6		norm0 31421	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7		0le1 11737	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5136	. . 3 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
9		nmoplb 32200	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
10	1, 8, 9	mp3an23 1479	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇))
11		normcl 31418	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
12	3, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11259	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ*)
14		nmopxr 32159	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
15		0xr 11256	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		xrletr 13183	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
17	15, 16	mp3an1 1474	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ ℝ* ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
18	13, 14, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ≤ (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (normop‘𝑇)))
19	5, 10, 18	mp2and 711	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244   ℋchba 31212  norm_ℎcno 31216  0_ℎc0v 31217  norm_opcnop 31238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvdistr1 31301  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-nmcv 30893  df-hnorm 31261  df-hba 31262  df-hvsub 31264  df-nmop 32132

This theorem is referenced by:  nmopgt0  32205  nmophmi  32324  cnlnadjlem7  32366  nmopadjlem  32382  nmopcoadji  32394  opsqrlem1  32433