MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramlb 16956
Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramlb.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramlb.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
ramlb.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
ramlb.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
ramlb.s (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ramlb.g (πœ‘ β†’ 𝐺:((1...𝑁)𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
ramlb.i ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (πΉβ€˜π‘)))
Assertion
Ref Expression
ramlb (πœ‘ β†’ 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝐢   𝐹,𝑐,π‘₯   𝐺,𝑐,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑖,π‘₯,𝑀   πœ‘,𝑐,π‘₯   𝑁,𝑐,π‘₯   𝑅,𝑐,π‘₯   𝑉,𝑐,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐺(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramlb
StepHypRef Expression
1 ramlb.c . . . . 5 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramlb.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
32adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 ramlb.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
6 ramlb.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
8 ramlb.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
98adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
11 ramubcl 16955 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
123, 5, 7, 9, 10, 11syl32anc 1378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
13 fzfid 13942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
14 hashfz1 14310 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
1615breq2d 5160 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (β™―β€˜(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁))
1716biimpar 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (β™―β€˜(1...𝑁)))
18 ramlb.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:((1...𝑁)𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
1918adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ 𝐺:((1...𝑁)𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
201, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19rami 16952 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})))
21 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁) β†’ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))
22 ramlb.i . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (πΉβ€˜π‘)))
2322adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (πΉβ€˜π‘)))
24 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
25 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))
2624, 25ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
27 hashcl 14320 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
30 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
31 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
327, 30, 31syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
3332nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3429, 33ltnled 11365 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((β™―β€˜π‘₯) < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯)))
3523, 34sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐}) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯)))
3621, 35sylanr2 681 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐}) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯)))
3736con2d 134 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) β†’ Β¬ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})))
38 imnan 400 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) β†’ Β¬ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})))
3937, 38sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁))) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})))
4039pm2.21d 121 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁))) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁))
4140rexlimdvva 3211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑐})) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁))
4220, 41mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
4342pm2.01da 797 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
448nn0red 12537 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4544rexrd 11268 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
46 ramxrcl 16954 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
472, 4, 6, 46syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48 xrltnle 11285 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) β†’ (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁))
4945, 47, 48syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁))
5043, 49mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Fincfn 8941  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  β™―chash 14294   Ramsey cram 16936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-ram 16938
This theorem is referenced by:  0ram  16957  ram0  16959
  Copyright terms: Public domain W3C validator