Theorem ramlb 17044

Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramlb.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
ramlb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))

Assertion

Ref	Expression
ramlb	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramlb.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramlb.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ramlb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		ramlb.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8		ramlb.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11		ramubcl 17043	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
12	3, 5, 7, 9, 10, 11	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13		fzfid 13996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		hashfz1 14369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	8, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
16	15	breq2d 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
17	16	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
18		ramlb.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
20	1, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19	rami 17040	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
21		elpwi 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22		ramlb.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
23	22	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
24		fzfid 13996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
26	24, 25	ssfid 9278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashcl 14379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
29	28	nn0red 12568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ 𝑅)
31		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑅⟶ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
32	7, 30, 31	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
34	29, 33	ltnled 11387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐) ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
35	23, 34	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
36	21, 35	sylanr2 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
37	36	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
38		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
39	37, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
40	39	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
41	40	rexlimdvva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
42	20, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
43	42	pm2.01da 798	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
44	8	nn0red 12568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
46		ramxrcl 17042	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
47	2, 4, 6, 46	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48		xrltnle 11307	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
50	43, 49	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  {csn 4606   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Fincfn 8964  1c1 11135  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529  ♯chash 14353   Ramsey cram 17024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-ram 17026

This theorem is referenced by:  0ram  17045  ram0  17047