Theorem ramlb 17117

Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramlb.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
ramlb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))

Assertion

Ref	Expression
ramlb	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝐶(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem ramlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramlb.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramlb.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ramlb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		ramlb.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8		ramlb.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11		ramubcl 17116	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
12	3, 5, 7, 9, 10, 11	syl32anc 1405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13		fzfid 14041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		hashfz1 14414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	8, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
16	15	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
17	16	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
18		ramlb.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
20	1, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19	rami 17113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
21		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22		ramlb.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
23	22	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
24		fzfid 14041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
26	24, 25	ssfid 9243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashcl 14424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
29	28	nn0red 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
30		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ 𝑅)
31		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑅⟶ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
32	7, 30, 31	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
34	29, 33	ltnled 11385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐) ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
35	23, 34	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
36	21, 35	sylanr2 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
37	36	con2d 135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
38		imnan 405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
39	37, 38	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
40	39	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
41	40	rexlimdvva 3221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
42	20, 41	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
43	42	pm2.01da 811	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
44	8	nn0red 12594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
46		ramxrcl 17115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
47	2, 4, 6, 46	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48		xrltnle 11304	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
49	45, 47, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
50	43, 49	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ...cfz 13565  ♯chash 14398   Ramsey cram 17097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-ram 17099

This theorem is used by:  0ram  17118  ram0  17120