Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramlb 16345
 Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramlb.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r (𝜑𝑅𝑉)
ramlb.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
Assertion
Ref Expression
ramlb (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramlb
StepHypRef Expression
1 ramlb.c . . . . 5 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramlb.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramlb.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅𝑉)
6 ramlb.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8 ramlb.s . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11 ramubcl 16344 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
123, 5, 7, 9, 10, 11syl32anc 1375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13 fzfid 13336 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 hashfz1 13702 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1615breq2d 5042 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
1716biimpar 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
18 ramlb.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
1918adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
201, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19rami 16341 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
21 elpwi 4506 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22 ramlb.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
2322adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
24 fzfid 13336 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
2624, 25ssfid 8725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
30 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐𝑅)
31 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑅⟶ℕ0𝑐𝑅) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
327, 30, 31syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
3332nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
3429, 33ltnled 10776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((♯‘𝑥) < (𝐹𝑐) ↔ ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3523, 34sylibd 242 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3621, 35sylanr2 682 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3736con2d 136 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
38 imnan 403 . . . . . . 7 (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
3937, 38sylib 221 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
4039pm2.21d 121 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4140rexlimdvva 3253 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4220, 41mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
4342pm2.01da 798 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
448nn0red 11944 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4544rexrd 10680 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
46 ramxrcl 16343 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
472, 4, 6, 46syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48 xrltnle 10697 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4945, 47, 48syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
5043, 49mpbird 260 1 (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030  ◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Fincfn 8492  1c1 10527  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  ...cfz 12885  ♯chash 13686   Ramsey cram 16325 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-ram 16327 This theorem is referenced by:  0ram  16346  ram0  16348
 Copyright terms: Public domain W3C validator