MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramlb 17053
Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramlb.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r (𝜑𝑅𝑉)
ramlb.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
Assertion
Ref Expression
ramlb (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramlb
StepHypRef Expression
1 ramlb.c . . . . 5 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramlb.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramlb.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅𝑉)
6 ramlb.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8 ramlb.s . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11 ramubcl 17052 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
123, 5, 7, 9, 10, 11syl32anc 1377 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13 fzfid 14011 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 hashfz1 14382 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1615breq2d 5160 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
1716biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
18 ramlb.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
201, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19rami 17049 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
21 elpwi 4612 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22 ramlb.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
2322adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹𝑐)))
24 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
2624, 25ssfid 9299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0red 12586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
30 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐𝑅)
31 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑅⟶ℕ0𝑐𝑅) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
327, 30, 31syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℕ0)
3332nn0red 12586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
3429, 33ltnled 11406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((♯‘𝑥) < (𝐹𝑐) ↔ ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3523, 34sylibd 239 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3621, 35sylanr2 683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
3736con2d 134 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
38 imnan 399 . . . . . . 7 (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
3937, 38sylib 218 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})))
4039pm2.21d 121 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4140rexlimdvva 3211 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4220, 41mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
4342pm2.01da 799 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
448nn0red 12586 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4544rexrd 11309 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
46 ramxrcl 17051 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
472, 4, 6, 46syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48 xrltnle 11326 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
4945, 47, 48syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
5043, 49mpbird 257 1 (𝜑𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  ...cfz 13544  chash 14366   Ramsey cram 17033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-ram 17035
This theorem is referenced by:  0ram  17054  ram0  17056
  Copyright terms: Public domain W3C validator