Theorem ramlb 16990

Description: Establish a lower bound on a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramlb.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramlb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ramlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
ramlb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramlb.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramlb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramlb.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))

Assertion

Ref	Expression
ramlb	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐶   𝐹,𝑐,𝑥   𝐺,𝑐,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑥,𝑀   𝜑,𝑐,𝑥   𝑁,𝑐,𝑥   𝑅,𝑐,𝑥   𝑉,𝑐,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramlb.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramlb.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ramlb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		ramlb.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8		ramlb.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
11		ramubcl 16989	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
12	3, 5, 7, 9, 10, 11	syl32anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
13		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		hashfz1 14308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	8, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
16	15	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
17	16	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (♯‘(1...𝑁)))
18		ramlb.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → 𝐺:((1...𝑁)𝐶𝑀)⟶𝑅)
20	1, 3, 5, 7, 12, 13, 17, 19	rami 16986	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
21		elpwi 4548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
22		ramlb.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
23	22	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐)))
24		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
25		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ⊆ (1...𝑁))
26	24, 25	ssfid 9179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashcl 14318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
29	28	nn0red 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑐 ∈ 𝑅)
31		ffvelcdm 7033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑅⟶ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
32	7, 30, 31	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
34	29, 33	ltnled 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((♯‘𝑥) < (𝐹‘𝑐) ↔ ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
35	23, 34	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
36	21, 35	sylanr2 684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐}) → ¬ (𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥)))
37	36	con2d 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
38		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) → ¬ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
39	37, 38	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → ¬ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})))
40	39	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁))) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
41	40	rexlimdvva 3194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝐺 “ {𝑐})) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
42	20, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
43	42	pm2.01da 799	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
44	8	nn0red 12499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
46		ramxrcl 16988	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
47	2, 4, 6, 46	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*)
48		xrltnle 11212	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
49	45, 47, 48	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹) ↔ ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁))
50	43, 49	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑀 Ramsey 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {csn 4567   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Fincfn 8893  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ♯chash 14292   Ramsey cram 16970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-ram 16972

This theorem is referenced by:  0ram  16991  ram0  16993