MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramubcl 16902
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 12432 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ltpnf 13051 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
3 rexr 11211 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11219 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 xrltnle 11232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
63, 4, 5sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
72, 6mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
98ad2antrl 727 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
10 simprr 772 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
11 breq1 5114 . . . . 5 ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴 ↔ +∞ ≀ 𝐴))
1210, 11syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ +∞ ≀ 𝐴))
139, 12mtod 197 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14 elsni 4609 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
1513, 14nsyl 140 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16 ramcl2 16900 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
1716adantr 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
18 elun 4114 . . . 4 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
1917, 18sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2019ord 863 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2115, 20mt3d 148 1 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3912  {csn 4592   class class class wbr 5111  βŸΆwf 6498  (class class class)co 7363  β„cr 11060  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  β„•0cn0 12423   Ramsey cram 16883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-er 8656  df-map 8775  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-ram 16885
This theorem is referenced by:  ramlb  16903  0ram  16904  ram0  16906  ramz2  16908  ramcl  16913
  Copyright terms: Public domain W3C validator