MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramubcl 16986
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 12511 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ltpnf 13132 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
3 rexr 11290 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11298 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 xrltnle 11311 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
63, 4, 5sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
72, 6mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
98ad2antrl 727 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
10 simprr 772 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
11 breq1 5151 . . . . 5 ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴 ↔ +∞ ≀ 𝐴))
1210, 11syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ +∞ ≀ 𝐴))
139, 12mtod 197 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14 elsni 4646 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
1513, 14nsyl 140 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16 ramcl2 16984 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
1716adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
18 elun 4147 . . . 4 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
1917, 18sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2019ord 863 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2115, 20mt3d 148 1 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆͺ cun 3945  {csn 4629   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  (class class class)co 7420  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502   Ramsey cram 16967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-ram 16969
This theorem is referenced by:  ramlb  16987  0ram  16988  ram0  16990  ramz2  16992  ramcl  16997
  Copyright terms: Public domain W3C validator