Theorem ramubcl 17054

Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramubcl	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3		rexr 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11236	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 11249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
7	2, 6	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
9	8	ad2antrl 738	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
10		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)
11		breq1 5103	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
12	10, 11	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → +∞ ≤ 𝐴))
13	9, 12	mtod 200	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14		elsni 4599	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
15	13, 14	nsyl 140	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16		ramcl2 17052	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
18		elun 4106	. . . 4 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
19	17, 18	sylib 220	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
20	19	ord 875	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
21	15, 20	mt3d 148	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902  {csn 4582   class class class wbr 5100  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕ₀cn0 12481   Ramsey cram 17035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-ram 17037

This theorem is referenced by:  ramlb  17055  0ram  17056  ram0  17058  ramz2  17060  ramcl  17065