Theorem ramubcl 17100

Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramubcl	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3		rexr 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11278	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
9	8	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
10		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)
11		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
12	10, 11	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → +∞ ≤ 𝐴))
13	9, 12	mtod 201	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14		elsni 4608	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
15	13, 14	nsyl 141	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16		ramcl2 17098	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
18		elun 4107	. . . 4 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
19	17, 18	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
20	19	ord 878	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
21	15, 20	mt3d 149	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {csn 4591   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  +∞cpnf 11255  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕ₀cn0 12519   Ramsey cram 17081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-ram 17083

This theorem is used by:  ramlb  17101  0ram  17102  ram0  17104  ramz2  17106  ramcl  17111