MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramubcl 16956
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 12480 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ltpnf 13101 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
3 rexr 11259 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11267 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 xrltnle 11280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
63, 4, 5sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
72, 6mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
98ad2antrl 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
10 simprr 770 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
11 breq1 5142 . . . . 5 ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴 ↔ +∞ ≀ 𝐴))
1210, 11syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ +∞ ≀ 𝐴))
139, 12mtod 197 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14 elsni 4638 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
1513, 14nsyl 140 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16 ramcl2 16954 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
1716adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
18 elun 4141 . . . 4 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
1917, 18sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2019ord 861 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2115, 20mt3d 148 1 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3939  {csn 4621   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  (class class class)co 7402  β„cr 11106  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•0cn0 12471   Ramsey cram 16937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ram 16939
This theorem is referenced by:  ramlb  16957  0ram  16958  ram0  16960  ramz2  16962  ramcl  16967
  Copyright terms: Public domain W3C validator