Theorem ramubcl 16647

Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramubcl	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 12785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3		rexr 10952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10960	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 10973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
7	2, 6	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
9	8	ad2antrl 724	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
10		simprr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)
11		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
12	10, 11	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → +∞ ≤ 𝐴))
13	9, 12	mtod 197	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14		elsni 4575	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
15	13, 14	nsyl 140	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16		ramcl2 16645	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
18		elun 4079	. . . 4 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
19	17, 18	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
20	19	ord 860	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
21	15, 20	mt3d 148	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {csn 4558   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163   Ramsey cram 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ram 16630

This theorem is referenced by:  ramlb  16648  0ram  16649  ram0  16651  ramz2  16653  ramcl  16658