MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramubcl 16951
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 12481 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ltpnf 13100 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
3 rexr 11260 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11268 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 xrltnle 11281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
63, 4, 5sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < +∞ ↔ Β¬ +∞ ≀ 𝐴))
72, 6mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
98ad2antrl 727 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ +∞ ≀ 𝐴)
10 simprr 772 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
11 breq1 5152 . . . . 5 ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴 ↔ +∞ ≀ 𝐴))
1210, 11syl5ibcom 244 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ β†’ +∞ ≀ 𝐴))
139, 12mtod 197 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14 elsni 4646 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
1513, 14nsyl 140 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16 ramcl2 16949 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
1716adantr 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
18 elun 4149 . . . 4 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
1917, 18sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2019ord 863 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (Β¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
2115, 20mt3d 148 1 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐴 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947  {csn 4629   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  (class class class)co 7409  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472   Ramsey cram 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ram 16934
This theorem is referenced by:  ramlb  16952  0ram  16953  ram0  16955  ramz2  16957  ramcl  16962
  Copyright terms: Public domain W3C validator