Theorem ramubcl 17077

Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramubcl	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3		rexr 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11262	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 11275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐴))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
9	8	ad2antrl 740	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ +∞ ≤ 𝐴)
10		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)
11		breq1 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴 ↔ +∞ ≤ 𝐴))
12	10, 11	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ → +∞ ≤ 𝐴))
13	9, 12	mtod 201	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
14		elsni 4611	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞} → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
15	13, 14	nsyl 141	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞})
16		ramcl2 17075	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
18		elun 4115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
19	17, 18	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
20	19	ord 877	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (¬ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ {+∞}))
21	15, 20	mt3d 149	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {csn 4594   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503   Ramsey cram 17058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-ram 17060

This theorem is referenced by:  ramlb  17078  0ram  17079  ram0  17081  ramz2  17083  ramcl  17088