MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ge 25958
Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ge ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1ge
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1leb.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1leb.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
41, 2, 3deg1xrcl 25942 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
5 nn0re 12479 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ)
65rexrd 11262 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ*)
7 xrltnle 11279 . . . . 5 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
84, 6, 7syl2an 595 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
9 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
111, 2, 3, 9, 10deg1lt 25957 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
12113expia 1118 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
138, 12sylbird 260 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹) → (𝐴𝐺) = 0 ))
1413necon1ad 2949 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐺) ≠ 0𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
15143impia 1114 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  cfv 6534  *cxr 11245   < clt 11246  cle 11247  0cn0 12470  Basecbs 17145  0gc0g 17386  Poly1cpl1 22021  coe1cco1 22022   deg1 cdg1 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-cnfld 21231  df-psr 21773  df-mpl 21775  df-opsr 21777  df-psr1 22024  df-ply1 22026  df-coe1 22027  df-mdeg 25912  df-deg1 25913
This theorem is referenced by:  deg1add  25963  deg1mul2  25974  deg1tm  25978  plypf1  26068
  Copyright terms: Public domain W3C validator