Theorem deg1ge 26137

Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ge	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1leb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1leb.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	deg1xrcl 26121	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		nn0re 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11311	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ*)
7		xrltnle 11328	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
9		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
11	1, 2, 3, 9, 10	deg1lt 26136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )
12	11	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
13	8, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
14	13	necon1ad 2957	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
15	14	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095

This theorem is referenced by:  deg1add  26142  deg1mul2  26153  deg1tm  26158  plypf1  26251