Theorem deg1ge 26009

Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ge	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1leb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1leb.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	deg1xrcl 25993	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		nn0re 12457	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ*)
7		xrltnle 11247	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
9		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
11	1, 2, 3, 9, 10	deg1lt 26008	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )
12	11	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
13	8, 12	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
14	13	necon1ad 2943	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
15	14	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215  ℕ₀cn0 12448  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  Poly₁cpl1 22067  coe₁cco1 22068  deg₁cdg1 25965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-cnfld 21271  df-psr 21824  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-psr1 22070  df-ply1 22072  df-coe1 22073  df-mdeg 25966  df-deg1 25967

This theorem is referenced by:  deg1add  26014  deg1mul2  26025  deg1tm  26030  plypf1  26123