MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ge 25486
Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ge ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1ge
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1leb.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1leb.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
41, 2, 3deg1xrcl 25470 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
5 nn0re 12430 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ)
65rexrd 11213 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℕ0𝐺 ∈ ℝ*)
7 xrltnle 11230 . . . . 5 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
84, 6, 7syl2an 597 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
9 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
111, 2, 3, 9, 10deg1lt 25485 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
12113expia 1122 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
138, 12sylbird 260 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷𝐹) → (𝐴𝐺) = 0 ))
1413necon1ad 2957 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐺) ≠ 0𝐺 ≤ (𝐷𝐹)))
15143impia 1118 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5109  cfv 6500  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mdeg 25440  df-deg1 25441
This theorem is referenced by:  deg1add  25491  deg1mul2  25502  deg1tm  25506  plypf1  25596
  Copyright terms: Public domain W3C validator