Theorem deg1ge 24699

Description: Conversely, a nonzero coefficient sets a lower bound on the degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ge	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1leb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1leb.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	deg1xrcl 24683	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		nn0re 11894	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 10680	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ0 → 𝐺 ∈ ℝ*)
7		xrltnle 10697	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
8	4, 6, 7	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
9		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
11	1, 2, 3, 9, 10	deg1lt 24698	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )
12	11	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
13	8, 12	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹) → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
14	13	necon1ad 3004	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹)))
15	14	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝐺) ≠ 0 ) → 𝐺 ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Poly₁cpl1 20806  coe₁cco1 20807   deg₁ cdg1 24655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-cnfld 20092  df-psr 20594  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mdeg 24656  df-deg1 24657

This theorem is referenced by:  deg1add  24704  deg1mul2  24715  deg1tm  24719  plypf1  24809