MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextltlem 13213
Description: Lemma for qextlt 13214 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextltlem ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem
StepHypRef Expression
1 qbtwnxr 13211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
213expia 1118 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 qre 12967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
76ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8 xrltnle 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
94, 7, 8syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
103, 9mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥𝐴)
11 xrltle 13160 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
127, 4, 11syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
1310, 12mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14 simprr 771 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
1513, 142thd 264 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
16 nbbn 382 . . . . . 6 ((¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
1715, 16sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
18 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
197, 18, 14xrltled 13161 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥𝐵)
2010, 192thd 264 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵))
21 nbbn 382 . . . . . 6 ((¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2317, 22jca 510 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2423ex 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
2524reximdva 3158 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
262, 25syld 47 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wrex 3060   class class class wbr 5143  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  cq 12962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963
This theorem is referenced by:  qextlt  13214  qextle  13215
  Copyright terms: Public domain W3C validator