MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextltlem 12345
Description: Lemma for qextlt 12346 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextltlem ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem
StepHypRef Expression
1 qbtwnxr 12343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
213expia 1111 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3 simprl 761 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4 simplll 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 qre 12100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
65rexrd 10426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
76ad2antlr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8 xrltnle 10444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
94, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
103, 9mpbid 224 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥𝐴)
11 xrltle 12292 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
127, 4, 11syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴𝑥𝐴))
1310, 12mtod 190 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14 simprr 763 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
1513, 142thd 257 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
16 nbbn 375 . . . . . 6 ((¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
1715, 16sylib 210 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
18 simpllr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
197, 18, 14xrltled 12293 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥𝐵)
2010, 192thd 257 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵))
21 nbbn 375 . . . . . 6 ((¬ 𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2220, 21sylib 210 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2317, 22jca 507 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2423ex 403 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
2524reximdva 3198 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
262, 25syld 47 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wrex 3091   class class class wbr 4886  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  cq 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096
This theorem is referenced by:  qextlt  12346  qextle  12347
  Copyright terms: Public domain W3C validator