Theorem qextltlem 13244

Description: Lemma for qextlt 13245 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qextltlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnxr 13242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
2	1	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		qre 12995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8		xrltnle 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
9	4, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐴)
11		xrltle 13191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
12	7, 4, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
13	10, 12	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
15	13, 14	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
16		nbbn 383	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
18		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	7, 18, 14	xrltled 13192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
20	10, 19	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
21		nbbn 383	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	20, 21	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
23	17, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵)))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
25	24	reximdva 3168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
26	2, 25	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℚcq 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991

This theorem is referenced by:  qextlt  13245  qextle  13246