Theorem qextltlem 13205

Description: Lemma for qextlt 13206 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qextltlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnxr 13203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
2	1	3expia 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		qre 12959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8		xrltnle 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
9	4, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐴)
11		xrltle 13152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
12	7, 4, 11	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
13	10, 12	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
15	13, 14	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
16		nbbn 383	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
17	15, 16	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
18		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	7, 18, 14	xrltled 13153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
20	10, 19	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
21		nbbn 383	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	20, 21	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
23	17, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵)))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
25	24	reximdva 3163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
26	2, 25	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℚcq 12954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955

This theorem is referenced by:  qextlt  13206  qextle  13207