Theorem qextltlem 13181

Description: Lemma for qextlt 13182 and qextle . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qextltlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qbtwnxr 13179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
2	1	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
4		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		qre 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8		xrltnle 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
9	4, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐴)
11		xrltle 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
12	7, 4, 11	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐴))
13	10, 12	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐴)
14		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
15	13, 14	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
16		nbbn 385	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
17	15, 16	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵))
18		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	7, 18, 14	xrltled 13129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
20	10, 19	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
21		nbbn 385	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
22	20, 21	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
23	17, 22	jca 513	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵)))
24	23	ex 414	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
25	24	reximdva 3169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))
26	2, 25	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℚcq 12932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933

This theorem is referenced by:  qextlt  13182  qextle  13183