Theorem hashbnd 13423

Description: If 𝐴 has size bounded by an integer 𝐵, then 𝐴 is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashbnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hashbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ltpnf 12247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
3		rexr 10409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10417	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 10431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
7	2, 6	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
9		hashinf 13422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
10	9	breq1d 4885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
11	10	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
12	8, 11	syl5ibrcom 239	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
13	12	expdimp 446	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
14	13	ancoms 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
15	14	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
16	15	3impia 1149	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  Fincfn 8228  ℝcr 10258  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℕ₀cn0 11625  ♯chash 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-hash 13418

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  19637  fta1glem2  24332  fta1blem  24334  lgsqrlem4  25494  fusgredgfi  26629  idomsubgmo  38614  pgrple2abl  43007