Theorem hashbnd 14259

Description: If 𝐴 has size bounded by an integer 𝐵, then 𝐴 is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashbnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hashbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
3		rexr 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xrltnle 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
7	2, 6	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
9		hashinf 14258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
10	9	breq1d 5108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
11	10	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ +∞ ≤ 𝐵))
12	8, 11	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
13	12	expdimp 452	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
14	13	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵))
15	14	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
16	15	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ℝcr 11025  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20458  fta1glem2  26130  fta1blem  26132  lgsqrlem4  27316  fusgredgfi  29398  aks6d1c2lem4  42377  idomsubgmo  43431  pgrple2abl  48607