Theorem upgrfi 29126

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrle 29125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
4		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ltpnf 13183	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 < +∞
7	4	rexri 11348	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11344	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltnle 11357	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
11	6, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ≤ 2
12		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
13		hashinf 14384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
14	12, 13	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
15	14	breq1d 5176	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
16	11, 15	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
17	16	con4i 114	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
18	3, 17	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12348  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  UPGraphcupgr 29115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-hash 14380  df-upgr 29117

This theorem is referenced by:  upgrex  29127