MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrfi 29108
Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isupgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrfi ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi
StepHypRef Expression
1 isupgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isupgr.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgrle 29107 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
4 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 ltpnf 13162 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 2 < +∞
74rexri 11319 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
8 pnfxr 11315 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
9 xrltnle 11328 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
107, 8, 9mp2an 692 . . . . 5 (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
116, 10mpbi 230 . . . 4 ¬ +∞ ≤ 2
12 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
13 hashinf 14374 . . . . . 6 (((𝐸𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1412, 13mpan 690 . . . . 5 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1514breq1d 5153 . . . 4 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
1611, 15mtbiri 327 . . 3 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
1716con4i 114 . 2 ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
183, 17syl 17 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  cfv 6561  Fincfn 8985  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  UPGraphcupgr 29097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370  df-upgr 29099
This theorem is referenced by:  upgrex  29109
  Copyright terms: Public domain W3C validator