Theorem upgrfi 29160

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrle 29159	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
4		2re 12255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ltpnf 13071	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 < +∞
7	4	rexri 11203	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11199	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltnle 11212	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
11	6, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ≤ 2
12		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
13		hashinf 14297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
14	12, 13	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
15	14	breq1d 5095	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
16	11, 15	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
17	16	con4i 114	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
18	3, 17	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  UPGraphcupgr 29149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-hash 14293  df-upgr 29151

This theorem is referenced by:  upgrex  29161