Theorem upgrfi 29108

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrle 29107	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
4		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ltpnf 13162	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 < +∞
7	4	rexri 11319	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11315	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltnle 11328	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
11	6, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ≤ 2
12		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
13		hashinf 14374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
15	14	breq1d 5153	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
16	11, 15	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
17	16	con4i 114	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
18	3, 17	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  UPGraphcupgr 29097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370  df-upgr 29099

This theorem is referenced by:  upgrex  29109