Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrfi 26873
 Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isupgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrfi ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi
StepHypRef Expression
1 isupgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isupgr.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgrle 26872 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
4 2re 11697 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 ltpnf 12501 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 2 < +∞
74rexri 10684 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10680 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
9 xrltnle 10693 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . 5 (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
116, 10mpbi 233 . . . 4 ¬ +∞ ≤ 2
12 fvex 6664 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
13 hashinf 13689 . . . . . 6 (((𝐸𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1514breq1d 5057 . . . 4 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
1611, 15mtbiri 330 . . 3 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
1716con4i 114 . 2 ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
183, 17syl 17 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   class class class wbr 5047   Fn wfn 6331  ‘cfv 6336  Fincfn 8492  ℝcr 10521  +∞cpnf 10657  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661  2c2 11678  ♯chash 13684  Vtxcvtx 26778  iEdgciedg 26779  UPGraphcupgr 26862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-hash 13685  df-upgr 26864 This theorem is referenced by:  upgrex  26874
 Copyright terms: Public domain W3C validator