Theorem upgrfi 29684

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrle 29683	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
4		2re 12430	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ltpnf 13262	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 < +∞
7	4	rexri 11380	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11376	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltnle 11389	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
11	6, 10	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ≤ 2
12		fvex 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
13		hashinf 14492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
14	12, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸‘𝐹)) = +∞)
15	14	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
16	11, 15	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (¬ (𝐸‘𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2)
17	16	con4i 115	. 2 ⊢ ((♯‘(𝐸‘𝐹)) ≤ 2 → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
18	3, 17	syl 18	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   Fn wfn 6542  ‘cfv 6547  Fincfn 8987  ℝcr 11212  +∞cpnf 11353  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357  2c2 12410  ♯chash 14487  Vtxcvtx 29589  iEdgciedg 29590  UPGraphcupgr 29673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-hash 14488  df-upgr 29675

This theorem is used by:  upgrex  29685