MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrfi 28106
Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isupgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgrfi ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi
StepHypRef Expression
1 isupgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 isupgr.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upgrle 28105 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
4 2re 12237 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 ltpnf 13051 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → 2 < +∞)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 2 < +∞
74rexri 11223 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
8 pnfxr 11219 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
9 xrltnle 11232 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . 5 (2 < +∞ ↔ ¬ +∞ ≤ 2)
116, 10mpbi 229 . . . 4 ¬ +∞ ≤ 2
12 fvex 6861 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
13 hashinf 14246 . . . . . 6 (((𝐸𝐹) ∈ V ∧ ¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin) → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → (♯‘(𝐸𝐹)) = +∞)
1514breq1d 5121 . . . 4 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 ↔ +∞ ≤ 2))
1611, 15mtbiri 327 . . 3 (¬ (𝐸𝐹) ∈ Fin → ¬ (♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
1716con4i 114 . 2 ((♯‘(𝐸𝐹)) ≤ 2 → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
183, 17syl 17 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447   class class class wbr 5111   Fn wfn 6497  cfv 6502  Fincfn 8891  cr 11060  +∞cpnf 11196  *cxr 11198   < clt 11199  cle 11200  2c2 12218  chash 14241  Vtxcvtx 28011  iEdgciedg 28012  UPGraphcupgr 28095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-hash 14242  df-upgr 28097
This theorem is referenced by:  upgrex  28107
  Copyright terms: Public domain W3C validator