MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcadd2 16928
Description: The inequality of pcadd 16927 becomes an equality when one of the factors has prime count strictly less than the other. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd2.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcadd2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
pcadd2.3 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
pcadd2.4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) < (𝑃 pCnt 𝐵))
Assertion
Ref Expression
pcadd2 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem pcadd2
StepHypRef Expression
1 pcadd2.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcadd2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 pcxcl 16899 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
5 pcadd2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
6 qaddcl 13007 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
72, 5, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
8 pcxcl 16899 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ*)
91, 7, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ*)
10 pcxcl 16899 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
111, 5, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
12 pcadd2.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) < (𝑃 pCnt 𝐵))
134, 11, 12xrltled 13192 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
141, 2, 5, 13pcadd 16927 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
15 qnegcl 13008 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → -𝐵 ∈ ℚ)
165, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℚ)
17 xrltnle 11328 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑃 pCnt 𝐴) < (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
184, 11, 17syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) < (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
1912, 18mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
201adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℚ)
227adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
23 pcneg 16912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt -𝐵) = (𝑃 pCnt 𝐵))
241, 5, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt -𝐵) = (𝑃 pCnt 𝐵))
2524breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 pCnt -𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))))
2625biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))) → (𝑃 pCnt -𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
2720, 21, 22, 26pcadd 16927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))) → (𝑃 pCnt -𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵))))
2827ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) → (𝑃 pCnt -𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵)))))
29 qcn 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
305, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3130negcld 11607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
32 qcn 13005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
332, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3431, 33, 30add12d 11488 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (-𝐵 + 𝐵)))
3531, 30addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-𝐵 + 𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3630negidd 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + -𝐵) = 0)
3735, 36eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-𝐵 + 𝐵) = 0)
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + (-𝐵 + 𝐵)) = (𝐴 + 0))
3933addridd 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
4034, 38, 393eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐴)
4140oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
4224, 41breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt -𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (-𝐵 + (𝐴 + 𝐵))) ↔ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
4328, 42sylibd 239 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
4419, 43mtod 198 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
45 xrltnle 11328 . . . . . . . 8 (((𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) < (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))))
469, 11, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) < (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ ¬ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵))))
4744, 46mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) < (𝑃 pCnt 𝐵))
489, 11, 47xrltled 13192 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
4948, 24breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt -𝐵))
501, 7, 16, 49pcadd 16927 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt ((𝐴 + 𝐵) + -𝐵)))
5133, 30, 31addassd 11283 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + -𝐵) = (𝐴 + (𝐵 + -𝐵)))
5236oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 + -𝐵)) = (𝐴 + 0))
5351, 52, 393eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + -𝐵) = 𝐴)
5453oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝐴 + 𝐵) + -𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
5550, 54breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
564, 9, 14, 55xrletrid 13197 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  cq 12990  cprime 16708   pCnt cpc 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19616
  Copyright terms: Public domain W3C validator