Theorem 1259prm 13267

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	|- N = ;;; 1 2 5 9

Assertion

Ref	Expression
1259prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 13255	. 2 |- ; 3 7 e. Prime
2		3nn0 9585	. . 3 |- 3 e. NN0
3		4nn 9472	. . 3 |- 4 e. NN
4	2, 3	decnncl 9804	. 2 |- ; 3 4 e. NN
5		1nn0 9583	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
6		2nn0 9584	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7	5, 6	deccl 9795	. . . . . . 7 |- ; 1 2 e. NN0
8		5nn0 9587	. . . . . . 7 |- 5 e. NN0
9	7, 8	deccl 9795	. . . . . 6 |- ;; 1 2 5 e. NN0
10		8nn0 9590	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
11	9, 10	deccl 9795	. . . . 5 |- ;;; 1 2 5 8 e. NN0
12	11	nn0cni 9579	. . . 4 |- ;;; 1 2 5 8 e. CC
13		ax-1cn 8272	. . . 4 |- 1 e. CC
14		1259prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 1 2 5 9
15		eqid 2238	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 8 = ;;; 1 2 5 8
16		8p1e9 9447	. . . . . 6 |- ( 8 + 1 ) = 9
17	9, 10, 5, 15, 16	decaddi 9845	. . . . 5 |- (;;; 1 2 5 8 + 1 ) = ;;; 1 2 5 9
18	14, 17	eqtr4i 2262	. . . 4 |- N = (;;; 1 2 5 8 + 1 )
19	12, 13, 18	mvrraddi 8544	. . 3 |- ( N - 1 ) = ;;; 1 2 5 8
20		4nn0 9586	. . . . 5 |- 4 e. NN0
21	2, 20	deccl 9795	. . . 4 |- ; 3 4 e. NN0
22		7nn0 9589	. . . 4 |- 7 e. NN0
23		eqid 2238	. . . 4 |- ; 3 7 = ; 3 7
24	6, 2	deccl 9795	. . . 4 |- ; 2 3 e. NN0
25		eqid 2238	. . . . 5 |- ; 3 4 = ; 3 4
26		eqid 2238	. . . . 5 |- ; 2 3 = ; 2 3
27		3t3e9 9465	. . . . . . 7 |- ( 3 x. 3 ) = 9
28		2p1e3 9440	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
29	27, 28	oveq12i 6097	. . . . . 6 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ( 9 + 3 )
30		9p3e12 9873	. . . . . 6 |- ( 9 + 3 ) = ; 1 2
31	29, 30	eqtri 2259	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ; 1 2
32		4t3e12 9883	. . . . . 6 |- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
33		3cn 9381	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
34		2cn 9377	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
35		3p2e5 9448	. . . . . . 7 |- ( 3 + 2 ) = 5
36	33, 34, 35	addcomli 8472	. . . . . 6 |- ( 2 + 3 ) = 5
37	5, 6, 2, 32, 36	decaddi 9845	. . . . 5 |- ( ( 4 x. 3 ) + 3 ) = ; 1 5
38	2, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37	decmac 9837	. . . 4 |- ( (; 3 4 x. 3 ) + ; 2 3 ) = ;; 1 2 5
39		7cn 9390	. . . . . . 7 |- 7 e. CC
40		7t3e21 9895	. . . . . . 7 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
41	39, 33, 40	mulcomli 8333	. . . . . 6 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
42		1p2e3 9441	. . . . . 6 |- ( 1 + 2 ) = 3
43	6, 5, 6, 41, 42	decaddi 9845	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
44		4cn 9384	. . . . . 6 |- 4 e. CC
45		7t4e28 9896	. . . . . 6 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
46	39, 44, 45	mulcomli 8333	. . . . 5 |- ( 4 x. 7 ) = ; 2 8
47	22, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46	decmul1c 9850	. . . 4 |- (; 3 4 x. 7 ) = ;; 2 3 8
48	21, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47	decmul2c 9851	. . 3 |- (; 3 4 x. ; 3 7 ) = ;;; 1 2 5 8
49	19, 48	eqtr4i 2262	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
50		9nn0 9591	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
51	9, 50	deccl 9795	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 9 e. NN0
52	14, 51	eqeltri 2311	. . . . 5 |- N e. NN0
53	52	nn0cni 9579	. . . 4 |- N e. CC
54		npcan 8536	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
55	53, 13, 54	mp2an 430	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
56	55	eqcomi 2242	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
57		1nn 9317	. 2 |- 1 e. NN
58		2nn 9470	. 2 |- 2 e. NN
59	2, 22	deccl 9795	. . . . 5 |- ; 3 7 e. NN0
60	59	numexp1 13223	. . . 4 |- (; 3 7 ^ 1 ) = ; 3 7
61	60	oveq2i 6096	. . 3 |- (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
62	49, 61	eqtr4i 2262	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) )
63		7nn 9475	. . . 4 |- 7 e. NN
64		4lt7 9495	. . . 4 |- 4 < 7
65	2, 20, 63, 64	declt 9813	. . 3 |- ; 3 4 < ; 3 7
66	65, 60	breqtrri 4157	. 2 |- ; 3 4 < (; 3 7 ^ 1 )
67	14	1259lem4 13265	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
68	14	1259lem5 13266	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 3 4 ) - 1 ) gcd N ) = 1
69	1, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68	pockthi 13157	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   - cmin 8498   2c2 9357   3c3 9358   4c4 9359   5c5 9360   7c7 9362   8c8 9363   9c9 9364   NN0cn0 9567  ;cdc 9781   ^cexp 10988   Primecprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-xnn0 9635  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-ihash 11229  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-clim 12061  df-proddc 12334  df-dvds 12571  df-gcd 12747  df-prm 12902  df-odz 13008  df-phi 13009  df-pc 13084

This theorem is used by: (None)