Theorem 1259prm 13276

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	|- N = ;;; 1 2 5 9

Assertion

Ref	Expression
1259prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 13264	. 2 |- ; 3 7 e. Prime
2		3nn0 9592	. . 3 |- 3 e. NN0
3		4nn 9479	. . 3 |- 4 e. NN
4	2, 3	decnncl 9811	. 2 |- ; 3 4 e. NN
5		1nn0 9590	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
6		2nn0 9591	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7	5, 6	deccl 9802	. . . . . . 7 |- ; 1 2 e. NN0
8		5nn0 9594	. . . . . . 7 |- 5 e. NN0
9	7, 8	deccl 9802	. . . . . 6 |- ;; 1 2 5 e. NN0
10		8nn0 9597	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
11	9, 10	deccl 9802	. . . . 5 |- ;;; 1 2 5 8 e. NN0
12	11	nn0cni 9586	. . . 4 |- ;;; 1 2 5 8 e. CC
13		ax-1cn 8278	. . . 4 |- 1 e. CC
14		1259prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 1 2 5 9
15		eqid 2238	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 8 = ;;; 1 2 5 8
16		8p1e9 9454	. . . . . 6 |- ( 8 + 1 ) = 9
17	9, 10, 5, 15, 16	decaddi 9852	. . . . 5 |- (;;; 1 2 5 8 + 1 ) = ;;; 1 2 5 9
18	14, 17	eqtr4i 2262	. . . 4 |- N = (;;; 1 2 5 8 + 1 )
19	12, 13, 18	mvrraddi 8550	. . 3 |- ( N - 1 ) = ;;; 1 2 5 8
20		4nn0 9593	. . . . 5 |- 4 e. NN0
21	2, 20	deccl 9802	. . . 4 |- ; 3 4 e. NN0
22		7nn0 9596	. . . 4 |- 7 e. NN0
23		eqid 2238	. . . 4 |- ; 3 7 = ; 3 7
24	6, 2	deccl 9802	. . . 4 |- ; 2 3 e. NN0
25		eqid 2238	. . . . 5 |- ; 3 4 = ; 3 4
26		eqid 2238	. . . . 5 |- ; 2 3 = ; 2 3
27		3t3e9 9472	. . . . . . 7 |- ( 3 x. 3 ) = 9
28		2p1e3 9447	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
29	27, 28	oveq12i 6100	. . . . . 6 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ( 9 + 3 )
30		9p3e12 9880	. . . . . 6 |- ( 9 + 3 ) = ; 1 2
31	29, 30	eqtri 2259	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ; 1 2
32		4t3e12 9890	. . . . . 6 |- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
33		3cn 9388	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
34		2cn 9384	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
35		3p2e5 9455	. . . . . . 7 |- ( 3 + 2 ) = 5
36	33, 34, 35	addcomli 8478	. . . . . 6 |- ( 2 + 3 ) = 5
37	5, 6, 2, 32, 36	decaddi 9852	. . . . 5 |- ( ( 4 x. 3 ) + 3 ) = ; 1 5
38	2, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37	decmac 9844	. . . 4 |- ( (; 3 4 x. 3 ) + ; 2 3 ) = ;; 1 2 5
39		7cn 9397	. . . . . . 7 |- 7 e. CC
40		7t3e21 9902	. . . . . . 7 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
41	39, 33, 40	mulcomli 8339	. . . . . 6 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
42		1p2e3 9448	. . . . . 6 |- ( 1 + 2 ) = 3
43	6, 5, 6, 41, 42	decaddi 9852	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
44		4cn 9391	. . . . . 6 |- 4 e. CC
45		7t4e28 9903	. . . . . 6 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
46	39, 44, 45	mulcomli 8339	. . . . 5 |- ( 4 x. 7 ) = ; 2 8
47	22, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46	decmul1c 9857	. . . 4 |- (; 3 4 x. 7 ) = ;; 2 3 8
48	21, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47	decmul2c 9858	. . 3 |- (; 3 4 x. ; 3 7 ) = ;;; 1 2 5 8
49	19, 48	eqtr4i 2262	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
50		9nn0 9598	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
51	9, 50	deccl 9802	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 9 e. NN0
52	14, 51	eqeltri 2311	. . . . 5 |- N e. NN0
53	52	nn0cni 9586	. . . 4 |- N e. CC
54		npcan 8542	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
55	53, 13, 54	mp2an 430	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
56	55	eqcomi 2242	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
57		1nn 9324	. 2 |- 1 e. NN
58		2nn 9477	. 2 |- 2 e. NN
59	2, 22	deccl 9802	. . . . 5 |- ; 3 7 e. NN0
60	59	numexp1 13232	. . . 4 |- (; 3 7 ^ 1 ) = ; 3 7
61	60	oveq2i 6099	. . 3 |- (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
62	49, 61	eqtr4i 2262	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) )
63		7nn 9482	. . . 4 |- 7 e. NN
64		4lt7 9502	. . . 4 |- 4 < 7
65	2, 20, 63, 64	declt 9820	. . 3 |- ; 3 4 < ; 3 7
66	65, 60	breqtrri 4158	. 2 |- ; 3 4 < (; 3 7 ^ 1 )
67	14	1259lem4 13274	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
68	14	1259lem5 13275	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 3 4 ) - 1 ) gcd N ) = 1
69	1, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68	pockthi 13166	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   - cmin 8504   2c2 9364   3c3 9365   4c4 9366   5c5 9367   7c7 9369   8c8 9370   9c9 9371   NN0cn0 9574  ;cdc 9788   ^cexp 10996   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-xnn0 9642  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-proddc 12343  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911  df-odz 13017  df-phi 13018  df-pc 13093

This theorem is used by: (None)