Theorem 2exp7 13125

Description: Two to the seventh power is 128. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp7	⊢ (2↑7) = ;;128

Proof of Theorem 2exp7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 9297	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
2	1	oveq2i 6060	. . 3 ⊢ (2↑7) = (2↑(6 + 1))
3		2cn 9304	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		6nn0 9513	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		expp1 10904	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (2↑(6 + 1)) = ((2↑6) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2↑(6 + 1)) = ((2↑6) · 2)
7		2exp6 13124	. . . . 5 ⊢ (2↑6) = ;64
8	7	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((2↑6) · 2) = (;64 · 2)
9	6, 8	eqtri 2253	. . 3 ⊢ (2↑(6 + 1)) = (;64 · 2)
10	2, 9	eqtri 2253	. 2 ⊢ (2↑7) = (;64 · 2)
11		2nn0 9509	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		4nn0 9511	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		eqid 2232	. . 3 ⊢ ;64 = ;64
14		8nn0 9515	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		6t2e12 9808	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
16		4t2e8 9392	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
17	11, 4, 12, 13, 14, 15, 16	decmul1 9768	. 2 ⊢ (;64 · 2) = ;;128
18	10, 17	eqtri 2253	1 ⊢ (2↑7) = ;;128

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  2c2 9284  4c4 9286  6c6 9288  7c7 9289  8c8 9290  ℕ₀cn0 9492  ;cdc 9705  ↑cexp 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-exp 10897

This theorem is referenced by: (None)