Theorem dichmul0orlem7 16976

Description: Lemma for dichmul0or 16977. (Contributed by Matthew House, 28-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dichmul0orlem7.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
dichmul0orlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dichmul0orlem7	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dichmul0orlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dichmul0orlem7.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0)
4	2, 3	dichmul0orlem5 16974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ 0)
5	4	orcd 745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
6	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0)
8	6, 7	dichmul0orlem6 16975	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	olcd 746	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
10		dichmul0orlem7.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
11	1	dichmul0orlem4 16973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)) = 0)
12	1	recnd 8361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	abscld 11971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcld 8352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
16	14, 12	subcld 8645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
17		oveq12 6097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → (𝑥 · 𝑦) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)) = 0))
19		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → 𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → (𝑥 = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴))
22	21	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → (𝑦 = 0 ↔ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0))
23	20, 22	orbi12d 805	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0) ↔ (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ∨ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0)))
24	18, 23	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∧ 𝑦 = ((abs‘𝐴) − 𝐴)) → (((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)) ↔ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)) = 0 → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ∨ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0))))
25	24	rspc2gv 2942	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)) = 0 → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ∨ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0))))
26	15, 16, 25	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) − 𝐴)) = 0 → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ∨ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0))))
27	10, 11, 26	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ∨ ((abs‘𝐴) − 𝐴) = 0))
28	5, 9, 27	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   · cmul 8191   ≤ cle 8368   − cmin 8505  abscabs 11786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by:  dichmul0or  16977