Theorem rpcxproot 14605

Description: The complex power function allows us to write n-th roots via the idiom 𝐴↑_𝑐(1 / 𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxproot	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)

Proof of Theorem rpcxproot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8940	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		nnap0 8961	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
5	2, 4	recidap2d 8754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) · 𝑁) = 1)
6	5	oveq2d 5904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐴↑𝑐1))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		nnrecre 8969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
10		cxpmul 14604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
11	7, 9, 2, 10	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
12		rpcxpcl 14595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
13	8, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
14		nnz 9285	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		cxpexprp 14587	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
18	11, 17	eqtrd 2220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
19		rpcxp1 14591	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
21	6, 18, 20	3eqtr3d 2228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  ℝcr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   · cmul 7829   # cap 8551   / cdiv 8642  ℕcn 8932  ℤcz 9266  ℝ⁺crp 9666  ↑cexp 10532  ↑_𝑐ccxp 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-e 11670  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-ntr 13867  df-cn 13959  df-cnp 13960  df-tx 14024  df-cncf 14329  df-limced 14396  df-dvap 14397  df-relog 14550  df-rpcxp 14551

This theorem is referenced by: (None)