Theorem rpcxproot 15891

Description: The complex power function allows us to write n-th roots via the idiom 𝐴↑_𝑐(1 / 𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxproot	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)

Proof of Theorem rpcxproot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9262	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		nnap0 9283	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
5	2, 4	recidap2d 9075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) · 𝑁) = 1)
6	5	oveq2d 6074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐴↑𝑐1))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		nnrecre 9291	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
10		cxpmul 15889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
11	7, 9, 2, 10	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
12		rpcxpcl 15880	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
13	8, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
14		nnz 9613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		cxpexprp 15872	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
17	13, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
18	11, 17	eqtrd 2267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐((1 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
19		rpcxp1 15876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
21	6, 18, 20	3eqtr3d 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148   # cap 8872   / cdiv 8963  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ℝ⁺crp 10004  ↑cexp 10924  ↑_𝑐ccxp 15834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-e 12360  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14803  df-xmet 14804  df-met 14805  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-top 14975  df-topon 14988  df-bases 15020  df-ntr 15073  df-cn 15165  df-cnp 15166  df-tx 15230  df-cncf 15548  df-limced 15633  df-dvap 15634  df-relog 15835  df-rpcxp 15836

This theorem is referenced by: (None)