![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sq11 | GIF version |
Description: The square function is one-to-one for nonnegative reals. Also see sq11ap 10687 which would easily follow from this given excluded middle, but which for us is proved another way. (Contributed by NM, 8-Apr-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
sq11 | โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ดโ2) = (๐ตโ2) โ ๐ด = ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 109 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | recnd 7985 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
3 | sqval 10577 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
4 | 2, 3 | syl 14 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) |
5 | simpl 109 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต) โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | recnd 7985 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต) โ ๐ต โ โ) |
7 | sqval 10577 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) | |
8 | 6, 7 | syl 14 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต) โ (๐ตโ2) = (๐ต ยท ๐ต)) |
9 | 4, 8 | eqeqan12d 2193 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ดโ2) = (๐ตโ2) โ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต))) |
10 | msq11 8858 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) | |
11 | 9, 10 | bitrd 188 | 1 โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ดโ2) = (๐ตโ2) โ ๐ด = ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1353 โ wcel 2148 class class class wbr 4003 (class class class)co 5874 โcc 7808 โcr 7809 0cc0 7810 ยท cmul 7815 โค cle 7992 2c2 8969 โcexp 10518 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 |
This theorem is referenced by: qsqeqor 10630 sq11d 10686 sqrt11 11047 sqrtsq2 11051 sqabs 11090 dvdssqlem 12030 pythagtriplem3 12266 sinhalfpilem 14148 lgsne0 14375 lgsdinn0 14385 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |