ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom2i GIF version

Theorem binom2i 10669
Description: The square of a binomial. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
binom2.1 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
binom2i ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))

Proof of Theorem binom2i
StepHypRef Expression
1 binom2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 binom2.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
31, 2addcli 7996 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
43, 1, 2adddii 8002 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵))
51, 2, 1adddiri 8003 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴))
62, 1mulcomi 7998 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵)
76oveq2i 5911 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
85, 7eqtri 2210 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
91, 2, 2adddiri 8003 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))
108, 9oveq12i 5912 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
111, 1mulcli 7997 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
121, 2mulcli 7997 . . . . . 6 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
1311, 12addcli 7996 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ
142, 2mulcli 7997 . . . . 5 (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
1513, 12, 14addassi 8000 . . . 4 ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
1611, 12, 12addassi 8000 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
1716oveq1i 5910 . . . 4 ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
1810, 15, 173eqtr2i 2216 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
194, 18eqtri 2210 . 2 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
203sqvali 10640 . 2 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
211sqvali 10640 . . . 4 (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
22122timesi 9084 . . . 4 (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))
2321, 22oveq12i 5912 . . 3 ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
242sqvali 10640 . . 3 (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
2523, 24oveq12i 5912 . 2 (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
2619, 20, 253eqtr4i 2220 1 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5900  cc 7844   + caddc 7849   · cmul 7851  2c2 9005  cexp 10559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-seqfrec 10485  df-exp 10560
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3d  14944
  Copyright terms: Public domain W3C validator