Theorem binom2i 10563

Description: The square of a binomial. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
binom2i	⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))

Proof of Theorem binom2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		binom2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	addcli 7903	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
4	3, 1, 2	adddii 7909	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵))
5	1, 2, 1	adddiri 7910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴))
6	2, 1	mulcomi 7905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵)
7	6	oveq2i 5853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
8	5, 7	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵))
9	1, 2, 2	adddiri 7910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵))
10	8, 9	oveq12i 5854	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
11	1, 1	mulcli 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
12	1, 2	mulcli 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ
13	11, 12	addcli 7903	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ
14	2, 2	mulcli 7904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ
15	13, 12, 14	addassi 7907	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐵 · 𝐵)))
16	11, 12, 12	addassi 7907	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
17	16	oveq1i 5852	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐵)) + (𝐵 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
18	10, 15, 17	3eqtr2i 2192	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · 𝐴) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
19	4, 18	eqtri 2186	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
20	3	sqvali 10534	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
21	1	sqvali 10534	. . . 4 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
22	12	2timesi 8987	. . . 4 ⊢ (2 · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))
23	21, 22	oveq12i 5854	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
24	2	sqvali 10534	. . 3 ⊢ (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵)
25	23, 24	oveq12i 5854	. 2 ⊢ (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵 · 𝐵))
26	19, 20, 25	3eqtr4i 2196	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   · cmul 7758  2c2 8908  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by: (None)