Theorem swrdlen 11402

Description: Length of an extracted subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Proof of Theorem swrdlen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		elfzoelz 10532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		elfzelz 10407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
7	3, 6	zaddcld 9751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ ℤ)
8		fvexg 5709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 + 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
9	1, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
10	9	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))(𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))
12	11	fnmpt 5505	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))(𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
13	10, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
14		swrdval2 11401	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
15	14	fneq1d 5466	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹))))
16	13, 15	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
17		0z 9634	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		elfzelz 10407	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	3ad2ant3 1051	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
20	19, 5	zsubcld 9752	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
21		fzofig 10847	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin)
22	17, 20, 21	sylancr 418	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin)
23		fihashfn 11218	. . 3 ⊢ (((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∧ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
24	16, 22, 23	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
25		fznn0sub 10441	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
26	25	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
27		hashfzo0 11242	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
28	26, 27	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
29	24, 28	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ⟨cop 3708   ↦ cmpt 4187   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  0cc0 8169   + caddc 8172   − cmin 8487  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396

This theorem is referenced by:  swrdf  11405  swrdrlen  11411  swrdlen2  11412  swrds1  11418  ccatswrd  11420  swrdccat2  11421  ccatpfx  11451  swrdswrd  11455  pfxccatin12lem2  11481  pfxccatin12  11483