Theorem swrdlen 11138

Description: Length of an extracted subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Proof of Theorem swrdlen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		elfzoelz 10299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		elfzelz 10177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
7	3, 6	zaddcld 9529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ ℤ)
8		fvexg 5613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 + 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
9	1, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
10	9	ralrimiva 2580	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))(𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V)
11		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))
12	11	fnmpt 5417	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))(𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
13	10, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
14		swrdval2 11137	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
15	14	fneq1d 5378	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹))))
16	13, 15	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)))
17		0z 9413	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		elfzelz 10177	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	3ad2ant3 1023	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
20	19, 5	zsubcld 9530	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
21		fzofig 10609	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin)
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin)
23		fihashfn 10977	. . 3 ⊢ (((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∧ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))))
25		fznn0sub 10209	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
26	25	3ad2ant2 1022	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0)
27		hashfzo0 11000	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
28	26, 27	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^(𝐿 − 𝐹))) = (𝐿 − 𝐹))
29	24, 28	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773  ⟨cop 3641   ↦ cmpt 4116   Fn wfn 5280  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  Fincfn 6845  0cc0 7955   + caddc 7958   − cmin 8273  ℕ₀cn0 9325  ℤcz 9402  ...cfz 10160  ..^cfzo 10294  ♯chash 10952  Word cword 11026   substr csubstr 11131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-1o 6520  df-er 6638  df-en 6846  df-dom 6847  df-fin 6848  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-ihash 10953  df-word 11027  df-substr 11132

This theorem is referenced by:  swrdf  11141  swrdrlen  11147  swrdlen2  11148  swrds1  11154  ccatswrd  11156  swrdccat2  11157  ccatpfx  11187  swrdswrd  11191