Theorem 0elfz 13762

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12625	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12635	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13756	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  0cc0 11204   ≤ cle 11348  ℕ₀cn0 12610  ...cfz 13643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13783  f1resfz0f1d  13931  bcn0  14458  pfxmpt  14833  pfxfv  14837  pfxswrd  14860  swrdpfx  14861  pfxpfx  14862  pfxccatpfx1  14890  pfxccatpfx2  14891  pfxco  14994  chfacfscmulgsum  23184  chfacfpmmulgsum  23188  cayhamlem1  23190  wlkepvtx  30245  pthdadjvtx  30319  dfpth2  30320  pthhashvtx  30321  spthdep  30326  spthonepeq  30344  cyclnumvtx  30394  crctcsh  30419  wwlknllvtx  30441  wpthswwlks2on  30559  erclwwlknref  30666  0wlkonlem1  30715  upgr3v3e3cycl  30787  upgr4cycl4dv4e  30792  eupth2eucrct  30824  konigsbergiedgw  30855  konigsberglem1  30859  konigsberglem2  30860  konigsberglem3  30861  konigsberglem4  30862  gsummulsubdishift1  33676  gsummulsubdishift2  33677  gsummulsubdishift1s  33678  gsummulsubdishift2s  33679  cycpmco2f1  33732  circlemethhgt  35319  poimirlem5  38637  poimirlem20  38652  poimirlem22  38654  poimirlem28  38660  poimirlem32  38664  iccpartigtl  48599  iccpartlt  48600  iccpartgel  48605  iccpartrn  48606  iccelpart  48609  iccpartiun  48610  iccpartdisj  48613  upgrimpthslem2  49100  upgrimpths  49101  upgrimcycls  49103  cycl3grtri  49139  stgredgiun  49150  stgrvtx0  49154  stgrnbgr0  49156  isubgr3stgrlem7  49164  usgrexmpl1lem  49213  usgrexmpl2lem  49218