Theorem 0elfz 13798

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12661	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12671	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13792	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13819  f1resfz0f1d  13967  bcn0  14495  pfxmpt  14870  pfxfv  14874  pfxswrd  14897  swrdpfx  14898  pfxpfx  14899  pfxccatpfx1  14927  pfxccatpfx2  14928  pfxco  15031  chfacfscmulgsum  23233  chfacfpmmulgsum  23237  cayhamlem1  23239  wlkepvtx  30296  pthdadjvtx  30370  dfpth2  30371  pthhashvtx  30372  spthdep  30377  spthonepeq  30395  cyclnumvtx  30445  crctcsh  30470  wwlknllvtx  30492  wpthswwlks2on  30610  erclwwlknref  30717  0wlkonlem1  30766  upgr3v3e3cycl  30838  upgr4cycl4dv4e  30843  eupth2eucrct  30875  konigsbergiedgw  30906  konigsberglem1  30910  konigsberglem2  30911  konigsberglem3  30912  konigsberglem4  30913  gsummulsubdishift1  33728  gsummulsubdishift2  33729  gsummulsubdishift1s  33730  gsummulsubdishift2s  33731  cycpmco2f1  33784  circlemethhgt  35383  poimirlem5  38811  poimirlem20  38826  poimirlem22  38828  poimirlem28  38834  poimirlem32  38838  iccpartigtl  48778  iccpartlt  48779  iccpartgel  48784  iccpartrn  48785  iccelpart  48788  iccpartiun  48789  iccpartdisj  48792  upgrimpthslem2  49279  upgrimpths  49280  upgrimcycls  49282  cycl3grtri  49318  stgredgiun  49329  stgrvtx0  49333  stgrnbgr0  49335  isubgr3stgrlem7  49343  usgrexmpl1lem  49392  usgrexmpl2lem  49397