Theorem 0elfz 13578

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12452	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12462	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13572	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13599  bcn0  14272  pfxmpt  14641  pfxfv  14645  pfxswrd  14668  swrdpfx  14669  pfxpfx  14670  pfxccatpfx1  14698  pfxccatpfx2  14699  pfxco  14800  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulgsum  22829  cayhamlem1  22831  wlkepvtx  29727  pthdadjvtx  29796  dfpth2  29797  spthdep  29802  spthonepeq  29820  cyclnumvtx  29868  crctcsh  29892  wwlknllvtx  29914  wpthswwlks2on  30032  erclwwlknref  30139  0wlkonlem1  30188  upgr3v3e3cycl  30250  upgr4cycl4dv4e  30255  eupth2eucrct  30287  konigsbergiedgw  30318  konigsberglem1  30322  konigsberglem2  30323  konigsberglem3  30324  konigsberglem4  30325  gsummulsubdishift1  33129  gsummulsubdishift2  33130  gsummulsubdishift1s  33131  gsummulsubdishift2s  33132  cycpmco2f1  33185  circlemethhgt  34787  f1resfz0f1d  35296  pthhashvtx  35310  poimirlem5  37946  poimirlem20  37961  poimirlem22  37963  poimirlem28  37969  poimirlem32  37973  prjspnfv01  43057  prjspner01  43058  prjspner1  43059  iccpartigtl  47883  iccpartlt  47884  iccpartgel  47889  iccpartrn  47890  iccelpart  47893  iccpartiun  47894  iccpartdisj  47897  upgrimpthslem2  48384  upgrimpths  48385  upgrimcycls  48387  cycl3grtri  48423  stgredgiun  48434  stgrvtx0  48438  stgrnbgr0  48440  isubgr3stgrlem7  48448  usgrexmpl1lem  48497  usgrexmpl2lem  48502