Theorem 0elfz 13659

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12525	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12535	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13653	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1361	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  0cc0 11106   ≤ cle 11250  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13680  bcn0  14353  pfxmpt  14723  pfxfv  14727  pfxswrd  14750  swrdpfx  14751  pfxpfx  14752  pfxccatpfx1  14780  pfxccatpfx2  14781  pfxco  14882  chfacfscmulgsum  23028  chfacfpmmulgsum  23032  cayhamlem1  23034  wlkepvtx  30019  pthdadjvtx  30088  dfpth2  30089  spthdep  30094  spthonepeq  30112  cyclnumvtx  30160  crctcsh  30184  wwlknllvtx  30206  wpthswwlks2on  30324  erclwwlknref  30431  0wlkonlem1  30480  upgr3v3e3cycl  30542  upgr4cycl4dv4e  30547  eupth2eucrct  30579  konigsbergiedgw  30610  konigsberglem1  30614  konigsberglem2  30615  konigsberglem3  30616  konigsberglem4  30617  gsummulsubdishift1  33397  gsummulsubdishift2  33398  gsummulsubdishift1s  33399  gsummulsubdishift2s  33400  cycpmco2f1  33453  circlemethhgt  35039  f1resfz0f1d  35613  pthhashvtx  35628  poimirlem5  38304  poimirlem20  38319  poimirlem22  38321  poimirlem28  38327  poimirlem32  38331  prjspnfv01  43384  prjspner01  43385  prjspner1  43386  iccpartigtl  48200  iccpartlt  48201  iccpartgel  48206  iccpartrn  48207  iccelpart  48210  iccpartiun  48211  iccpartdisj  48214  upgrimpthslem2  48701  upgrimpths  48702  upgrimcycls  48704  cycl3grtri  48740  stgredgiun  48751  stgrvtx0  48755  stgrnbgr0  48757  isubgr3stgrlem7  48765  usgrexmpl1lem  48814  usgrexmpl2lem  48819