Theorem 0elfz 13648

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12515	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12525	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13642	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096   ≤ cle 11240  ℕ₀cn0 12500  ...cfz 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13669  bcn0  14342  pfxmpt  14712  pfxfv  14716  pfxswrd  14739  swrdpfx  14740  pfxpfx  14741  pfxccatpfx1  14769  pfxccatpfx2  14770  pfxco  14871  chfacfscmulgsum  22982  chfacfpmmulgsum  22986  cayhamlem1  22988  wlkepvtx  29945  pthdadjvtx  30014  dfpth2  30015  spthdep  30020  spthonepeq  30038  cyclnumvtx  30086  crctcsh  30110  wwlknllvtx  30132  wpthswwlks2on  30250  erclwwlknref  30357  0wlkonlem1  30406  upgr3v3e3cycl  30468  upgr4cycl4dv4e  30473  eupth2eucrct  30505  konigsbergiedgw  30536  konigsberglem1  30540  konigsberglem2  30541  konigsberglem3  30542  konigsberglem4  30543  gsummulsubdishift1  33325  gsummulsubdishift2  33326  gsummulsubdishift1s  33327  gsummulsubdishift2s  33328  cycpmco2f1  33381  circlemethhgt  34971  f1resfz0f1d  35500  pthhashvtx  35515  poimirlem5  38159  poimirlem20  38174  poimirlem22  38176  poimirlem28  38182  poimirlem32  38186  prjspnfv01  43241  prjspner01  43242  prjspner1  43243  iccpartigtl  48054  iccpartlt  48055  iccpartgel  48060  iccpartrn  48061  iccelpart  48064  iccpartiun  48065  iccpartdisj  48068  upgrimpthslem2  48555  upgrimpths  48556  upgrimcycls  48558  cycl3grtri  48594  stgredgiun  48605  stgrvtx0  48609  stgrnbgr0  48611  isubgr3stgrlem7  48619  usgrexmpl1lem  48668  usgrexmpl2lem  48673