Theorem 0elfz 13751

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12614	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12624	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13745	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  0cc0 11193   ≤ cle 11337  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13772  f1resfz0f1d  13920  bcn0  14447  pfxmpt  14821  pfxfv  14825  pfxswrd  14848  swrdpfx  14849  pfxpfx  14850  pfxccatpfx1  14878  pfxccatpfx2  14879  pfxco  14982  chfacfscmulgsum  23171  chfacfpmmulgsum  23175  cayhamlem1  23177  wlkepvtx  30232  pthdadjvtx  30306  dfpth2  30307  pthhashvtx  30308  spthdep  30313  spthonepeq  30331  cyclnumvtx  30381  crctcsh  30406  wwlknllvtx  30428  wpthswwlks2on  30546  erclwwlknref  30653  0wlkonlem1  30702  upgr3v3e3cycl  30774  upgr4cycl4dv4e  30779  eupth2eucrct  30811  konigsbergiedgw  30842  konigsberglem1  30846  konigsberglem2  30847  konigsberglem3  30848  konigsberglem4  30849  gsummulsubdishift1  33622  gsummulsubdishift2  33623  gsummulsubdishift1s  33624  gsummulsubdishift2s  33625  cycpmco2f1  33678  circlemethhgt  35265  poimirlem5  38523  poimirlem20  38538  poimirlem22  38540  poimirlem28  38546  poimirlem32  38550  iccpartigtl  48474  iccpartlt  48475  iccpartgel  48480  iccpartrn  48481  iccelpart  48484  iccpartiun  48485  iccpartdisj  48488  upgrimpthslem2  48975  upgrimpths  48976  upgrimcycls  48978  cycl3grtri  49014  stgredgiun  49025  stgrvtx0  49029  stgrnbgr0  49031  isubgr3stgrlem7  49039  usgrexmpl1lem  49088  usgrexmpl2lem  49093