Theorem 0elfz 12760

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11664	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 11674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 12754	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1400	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  0cc0 10274   ≤ cle 10414  ℕ₀cn0 11647  ...cfz 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  12780  bcn0  13421  swrd0fOLD  13750  swrdidOLD  13751  swrd0fvOLD  13764  pfxmpt  13793  pfxfv  13797  swrd0swrdOLD  13821  pfxswrd  13822  swrdswrd0OLD  13823  swrdpfx  13824  swrd0swrd0OLD  13825  pfxpfx  13826  wrdcctswrdOLD  13830  swrdccatwrdOLD  13836  wrdeqs1catOLD  13846  swrdccatin12lem2OLD  13865  pfxccatpfx1  13873  pfxccatpfx2  13874  swrdccat3aOLD  13876  pfxco  13995  chfacfscmulgsum  21083  chfacfpmmulgsum  21087  cayhamlem1  21089  wlkepvtx  27024  pthdadjvtx  27099  spthdep  27103  spthonepeq  27121  crctcsh  27190  wwlknllvtx  27212  wpthswwlks2on  27358  erclwwlknref  27484  0wlkonlem1  27538  upgr3v3e3cycl  27600  upgr4cycl4dv4e  27605  eupth2eucrct  27638  konigsbergiedgw  27671  konigsberglem1  27675  konigsberglem2  27676  konigsberglem3  27677  konigsberglem4  27678  circlemethhgt  31331  poimirlem5  34049  poimirlem20  34064  poimirlem22  34066  poimirlem28  34072  poimirlem32  34076  iccpartigtl  42405  iccpartlt  42406  iccpartgel  42411  iccpartrn  42412  iccelpart  42415  iccpartiun  42416  iccpartdisj  42419