Theorem 0elfz 13664

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12530	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12540	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13658	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  ...cfz 13546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13685  f1resfz0f1d  13833  bcn0  14359  pfxmpt  14733  pfxfv  14737  pfxswrd  14760  swrdpfx  14761  pfxpfx  14762  pfxccatpfx1  14790  pfxccatpfx2  14791  pfxco  14894  chfacfscmulgsum  23046  chfacfpmmulgsum  23050  cayhamlem1  23052  wlkepvtx  30037  pthdadjvtx  30106  dfpth2  30107  spthdep  30112  spthonepeq  30130  cyclnumvtx  30178  crctcsh  30202  wwlknllvtx  30224  wpthswwlks2on  30342  erclwwlknref  30449  0wlkonlem1  30498  upgr3v3e3cycl  30560  upgr4cycl4dv4e  30565  eupth2eucrct  30597  konigsbergiedgw  30628  konigsberglem1  30632  konigsberglem2  30633  konigsberglem3  30634  konigsberglem4  30635  gsummulsubdishift1  33411  gsummulsubdishift2  33412  gsummulsubdishift1s  33413  gsummulsubdishift2s  33414  cycpmco2f1  33467  circlemethhgt  35054  pthhashvtx  35633  poimirlem5  38309  poimirlem20  38324  poimirlem22  38326  poimirlem28  38332  poimirlem32  38336  prjspnfv01  43389  prjspner01  43390  prjspner1  43391  iccpartigtl  48205  iccpartlt  48206  iccpartgel  48211  iccpartrn  48212  iccelpart  48215  iccpartiun  48216  iccpartdisj  48219  upgrimpthslem2  48706  upgrimpths  48707  upgrimcycls  48709  cycl3grtri  48745  stgredgiun  48756  stgrvtx0  48760  stgrnbgr0  48762  isubgr3stgrlem7  48770  usgrexmpl1lem  48819  usgrexmpl2lem  48824