Theorem 0elfz 13623

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12490	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12500	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13617	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1356	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  ...cfz 13506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13644  bcn0  14317  pfxmpt  14686  pfxfv  14690  pfxswrd  14713  swrdpfx  14714  pfxpfx  14715  pfxccatpfx1  14743  pfxccatpfx2  14744  pfxco  14845  chfacfscmulgsum  22908  chfacfpmmulgsum  22912  cayhamlem1  22914  wlkepvtx  29816  pthdadjvtx  29885  dfpth2  29886  spthdep  29891  spthonepeq  29909  cyclnumvtx  29957  crctcsh  29981  wwlknllvtx  30003  wpthswwlks2on  30121  erclwwlknref  30228  0wlkonlem1  30277  upgr3v3e3cycl  30339  upgr4cycl4dv4e  30344  eupth2eucrct  30376  konigsbergiedgw  30407  konigsberglem1  30411  konigsberglem2  30412  konigsberglem3  30413  konigsberglem4  30414  gsummulsubdishift1  33209  gsummulsubdishift2  33210  gsummulsubdishift1s  33211  gsummulsubdishift2s  33212  cycpmco2f1  33265  circlemethhgt  34898  f1resfz0f1d  35425  pthhashvtx  35439  poimirlem5  38085  poimirlem20  38100  poimirlem22  38102  poimirlem28  38108  poimirlem32  38112  prjspnfv01  43167  prjspner01  43168  prjspner1  43169  iccpartigtl  47990  iccpartlt  47991  iccpartgel  47996  iccpartrn  47997  iccelpart  48000  iccpartiun  48001  iccpartdisj  48004  upgrimpthslem2  48491  upgrimpths  48492  upgrimcycls  48494  cycl3grtri  48530  stgredgiun  48541  stgrvtx0  48545  stgrnbgr0  48547  isubgr3stgrlem7  48555  usgrexmpl1lem  48604  usgrexmpl2lem  48609