Theorem 0elfz 13646

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12521	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12531	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13640	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  0cc0 11134   ≤ cle 11275  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13667  bcn0  14333  pfxmpt  14701  pfxfv  14705  pfxswrd  14729  swrdpfx  14730  pfxpfx  14731  pfxccatpfx1  14759  pfxccatpfx2  14760  pfxco  14862  chfacfscmulgsum  22803  chfacfpmmulgsum  22807  cayhamlem1  22809  wlkepvtx  29645  pthdadjvtx  29715  dfpth2  29716  spthdep  29721  spthonepeq  29739  cyclnumvtx  29787  crctcsh  29811  wwlknllvtx  29833  wpthswwlks2on  29948  erclwwlknref  30055  0wlkonlem1  30104  upgr3v3e3cycl  30166  upgr4cycl4dv4e  30171  eupth2eucrct  30203  konigsbergiedgw  30234  konigsberglem1  30238  konigsberglem2  30239  konigsberglem3  30240  konigsberglem4  30241  cycpmco2f1  33140  circlemethhgt  34680  f1resfz0f1d  35141  pthhashvtx  35155  poimirlem5  37654  poimirlem20  37669  poimirlem22  37671  poimirlem28  37677  poimirlem32  37681  prjspnfv01  42622  prjspner01  42623  prjspner1  42624  iccpartigtl  47417  iccpartlt  47418  iccpartgel  47423  iccpartrn  47424  iccelpart  47427  iccpartiun  47428  iccpartdisj  47431  upgrimpthslem2  47901  upgrimpths  47902  upgrimcycls  47904  cycl3grtri  47939  stgredgiun  47950  stgrvtx0  47954  stgrnbgr0  47956  isubgr3stgrlem7  47964  usgrexmpl1lem  48005  usgrexmpl2lem  48010