Theorem 0elfz 13540

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12416	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12426	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13534	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13561  bcn0  14233  pfxmpt  14602  pfxfv  14606  pfxswrd  14629  swrdpfx  14630  pfxpfx  14631  pfxccatpfx1  14659  pfxccatpfx2  14660  pfxco  14761  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulgsum  22808  cayhamlem1  22810  wlkepvtx  29732  pthdadjvtx  29801  dfpth2  29802  spthdep  29807  spthonepeq  29825  cyclnumvtx  29873  crctcsh  29897  wwlknllvtx  29919  wpthswwlks2on  30037  erclwwlknref  30144  0wlkonlem1  30193  upgr3v3e3cycl  30255  upgr4cycl4dv4e  30260  eupth2eucrct  30292  konigsbergiedgw  30323  konigsberglem1  30327  konigsberglem2  30328  konigsberglem3  30329  konigsberglem4  30330  gsummulsubdishift1  33151  gsummulsubdishift2  33152  gsummulsubdishift1s  33153  gsummulsubdishift2s  33154  cycpmco2f1  33206  circlemethhgt  34800  f1resfz0f1d  35308  pthhashvtx  35322  poimirlem5  37826  poimirlem20  37841  poimirlem22  37843  poimirlem28  37849  poimirlem32  37853  prjspnfv01  42867  prjspner01  42868  prjspner1  42869  iccpartigtl  47669  iccpartlt  47670  iccpartgel  47675  iccpartrn  47676  iccelpart  47679  iccpartiun  47680  iccpartdisj  47683  upgrimpthslem2  48154  upgrimpths  48155  upgrimcycls  48157  cycl3grtri  48193  stgredgiun  48204  stgrvtx0  48208  stgrnbgr0  48210  isubgr3stgrlem7  48218  usgrexmpl1lem  48267  usgrexmpl2lem  48272