Theorem 0elfz 13569

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12443	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12453	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13563	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13590  bcn0  14263  pfxmpt  14632  pfxfv  14636  pfxswrd  14659  swrdpfx  14660  pfxpfx  14661  pfxccatpfx1  14689  pfxccatpfx2  14690  pfxco  14791  chfacfscmulgsum  22835  chfacfpmmulgsum  22839  cayhamlem1  22841  wlkepvtx  29742  pthdadjvtx  29811  dfpth2  29812  spthdep  29817  spthonepeq  29835  cyclnumvtx  29883  crctcsh  29907  wwlknllvtx  29929  wpthswwlks2on  30047  erclwwlknref  30154  0wlkonlem1  30203  upgr3v3e3cycl  30265  upgr4cycl4dv4e  30270  eupth2eucrct  30302  konigsbergiedgw  30333  konigsberglem1  30337  konigsberglem2  30338  konigsberglem3  30339  konigsberglem4  30340  gsummulsubdishift1  33144  gsummulsubdishift2  33145  gsummulsubdishift1s  33146  gsummulsubdishift2s  33147  cycpmco2f1  33200  circlemethhgt  34803  f1resfz0f1d  35312  pthhashvtx  35326  poimirlem5  37960  poimirlem20  37975  poimirlem22  37977  poimirlem28  37983  poimirlem32  37987  prjspnfv01  43071  prjspner01  43072  prjspner1  43073  iccpartigtl  47895  iccpartlt  47896  iccpartgel  47901  iccpartrn  47902  iccelpart  47905  iccpartiun  47906  iccpartdisj  47909  upgrimpthslem2  48396  upgrimpths  48397  upgrimcycls  48399  cycl3grtri  48435  stgredgiun  48446  stgrvtx0  48450  stgrnbgr0  48452  isubgr3stgrlem7  48460  usgrexmpl1lem  48509  usgrexmpl2lem  48514