Theorem 0elfz 13528

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12405	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13522	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  0cc0 11015   ≤ cle 11156  ℕ₀cn0 12390  ...cfz 13411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13549  bcn0  14221  pfxmpt  14590  pfxfv  14594  pfxswrd  14617  swrdpfx  14618  pfxpfx  14619  pfxccatpfx1  14647  pfxccatpfx2  14648  pfxco  14749  chfacfscmulgsum  22778  chfacfpmmulgsum  22782  cayhamlem1  22784  wlkepvtx  29641  pthdadjvtx  29710  dfpth2  29711  spthdep  29716  spthonepeq  29734  cyclnumvtx  29782  crctcsh  29806  wwlknllvtx  29828  wpthswwlks2on  29946  erclwwlknref  30053  0wlkonlem1  30102  upgr3v3e3cycl  30164  upgr4cycl4dv4e  30169  eupth2eucrct  30201  konigsbergiedgw  30232  konigsberglem1  30236  konigsberglem2  30237  konigsberglem3  30238  konigsberglem4  30239  cycpmco2f1  33102  circlemethhgt  34679  f1resfz0f1d  35181  pthhashvtx  35195  poimirlem5  37688  poimirlem20  37703  poimirlem22  37705  poimirlem28  37711  poimirlem32  37715  prjspnfv01  42745  prjspner01  42746  prjspner1  42747  iccpartigtl  47550  iccpartlt  47551  iccpartgel  47556  iccpartrn  47557  iccelpart  47560  iccpartiun  47561  iccpartdisj  47564  upgrimpthslem2  48035  upgrimpths  48036  upgrimcycls  48038  cycl3grtri  48074  stgredgiun  48085  stgrvtx0  48089  stgrnbgr0  48091  isubgr3stgrlem7  48099  usgrexmpl1lem  48148  usgrexmpl2lem  48153