Theorem 0elfz 13524

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12396	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12406	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13518	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11006   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13545  bcn0  14217  pfxmpt  14586  pfxfv  14590  pfxswrd  14613  swrdpfx  14614  pfxpfx  14615  pfxccatpfx1  14643  pfxccatpfx2  14644  pfxco  14745  chfacfscmulgsum  22776  chfacfpmmulgsum  22780  cayhamlem1  22782  wlkepvtx  29638  pthdadjvtx  29707  dfpth2  29708  spthdep  29713  spthonepeq  29731  cyclnumvtx  29779  crctcsh  29803  wwlknllvtx  29825  wpthswwlks2on  29940  erclwwlknref  30047  0wlkonlem1  30096  upgr3v3e3cycl  30158  upgr4cycl4dv4e  30163  eupth2eucrct  30195  konigsbergiedgw  30226  konigsberglem1  30230  konigsberglem2  30231  konigsberglem3  30232  konigsberglem4  30233  cycpmco2f1  33091  circlemethhgt  34654  f1resfz0f1d  35156  pthhashvtx  35170  poimirlem5  37671  poimirlem20  37686  poimirlem22  37688  poimirlem28  37694  poimirlem32  37698  prjspnfv01  42663  prjspner01  42664  prjspner1  42665  iccpartigtl  47460  iccpartlt  47461  iccpartgel  47466  iccpartrn  47467  iccelpart  47470  iccpartiun  47471  iccpartdisj  47474  upgrimpthslem2  47945  upgrimpths  47946  upgrimcycls  47948  cycl3grtri  47984  stgredgiun  47995  stgrvtx0  47999  stgrnbgr0  48001  isubgr3stgrlem7  48009  usgrexmpl1lem  48058  usgrexmpl2lem  48063