Theorem 0elfz 13679

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12543	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12553	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13673	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562

This theorem is used by:  fz0sn0fz1  13700  f1resfz0f1d  13848  bcn0  14374  pfxmpt  14748  pfxfv  14752  pfxswrd  14775  swrdpfx  14776  pfxpfx  14777  pfxccatpfx1  14805  pfxccatpfx2  14806  pfxco  14909  chfacfscmulgsum  23085  chfacfpmmulgsum  23089  cayhamlem1  23091  wlkepvtx  30118  pthdadjvtx  30192  dfpth2  30193  pthhashvtx  30194  spthdep  30199  spthonepeq  30217  cyclnumvtx  30267  crctcsh  30292  wwlknllvtx  30314  wpthswwlks2on  30432  erclwwlknref  30539  0wlkonlem1  30588  upgr3v3e3cycl  30660  upgr4cycl4dv4e  30665  eupth2eucrct  30697  konigsbergiedgw  30728  konigsberglem1  30732  konigsberglem2  30733  konigsberglem3  30734  konigsberglem4  30735  gsummulsubdishift1  33508  gsummulsubdishift2  33509  gsummulsubdishift1s  33510  gsummulsubdishift2s  33511  cycpmco2f1  33564  circlemethhgt  35151  poimirlem5  38374  poimirlem20  38389  poimirlem22  38391  poimirlem28  38397  poimirlem32  38401  prjspnfv01  43470  prjspner01  43471  prjspner1  43472  iccpartigtl  48323  iccpartlt  48324  iccpartgel  48329  iccpartrn  48330  iccelpart  48333  iccpartiun  48334  iccpartdisj  48337  upgrimpthslem2  48824  upgrimpths  48825  upgrimcycls  48827  cycl3grtri  48863  stgredgiun  48874  stgrvtx0  48878  stgrnbgr0  48880  isubgr3stgrlem7  48888  usgrexmpl1lem  48937  usgrexmpl2lem  48942