Theorem 0elfz 13545

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12417	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
3		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nn0ge0 12427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elfz2nn0 13539	. 2 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429

This theorem is referenced by:  fz0sn0fz1  13566  bcn0  14235  pfxmpt  14603  pfxfv  14607  pfxswrd  14630  swrdpfx  14631  pfxpfx  14632  pfxccatpfx1  14660  pfxccatpfx2  14661  pfxco  14763  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmulgsum  22767  cayhamlem1  22769  wlkepvtx  29622  pthdadjvtx  29691  dfpth2  29692  spthdep  29697  spthonepeq  29715  cyclnumvtx  29763  crctcsh  29787  wwlknllvtx  29809  wpthswwlks2on  29924  erclwwlknref  30031  0wlkonlem1  30080  upgr3v3e3cycl  30142  upgr4cycl4dv4e  30147  eupth2eucrct  30179  konigsbergiedgw  30210  konigsberglem1  30214  konigsberglem2  30215  konigsberglem3  30216  konigsberglem4  30217  cycpmco2f1  33079  circlemethhgt  34613  f1resfz0f1d  35089  pthhashvtx  35103  poimirlem5  37607  poimirlem20  37622  poimirlem22  37624  poimirlem28  37630  poimirlem32  37634  prjspnfv01  42600  prjspner01  42601  prjspner1  42602  iccpartigtl  47411  iccpartlt  47412  iccpartgel  47417  iccpartrn  47418  iccelpart  47421  iccpartiun  47422  iccpartdisj  47425  upgrimpthslem2  47896  upgrimpths  47897  upgrimcycls  47899  cycl3grtri  47935  stgredgiun  47946  stgrvtx0  47950  stgrnbgr0  47952  isubgr3stgrlem7  47960  usgrexmpl1lem  48009  usgrexmpl2lem  48014