Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid2 45488
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid2
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
3 2zrngmmgm.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
41, 2, 32zrngnmrid 45487 . 2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
5 eldifi 4066 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎𝐸)
6 elrabi 3620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
76zcnd 12438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
87, 1eleq2s 2859 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℂ)
10 elrabi 3620 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
1110zcnd 12438 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
1211, 1eleq2s 2859 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
13 mulcom 10968 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
149, 12, 13syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
1514eqcomd 2746 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
1615eqeq1d 2742 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1716biimpd 228 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1817necon3d 2966 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
1918ralimdva 3105 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
2019ralimia 3087 . 2 (∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
214, 20ax-mp 5 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  wrex 3067  {crab 3070  cdif 3889  {csn 4567  cfv 6432  (class class class)co 7272  cc 10880  0cc0 10882   · cmul 10887  2c2 12039  cz 12330  s cress 16952  mulGrpcmgp 19731  fldccnfld 20608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-z 12331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator