Theorem 2zrngnmlid2 48762

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid2	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
4	1, 2, 3	2zrngnmrid 48761	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
5		eldifi 4064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ 𝐸)
6		elrabi 3627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℂ)
10		elrabi 3627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
12	11, 1	eleq2s 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
13		mulcom 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
14	9, 12, 13	syl2an 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
15	14	eqcomd 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
16	15	eqeq1d 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
17	16	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
18	17	necon3d 2957	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
19	18	ralimdva 3153	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
20	19	ralimia 3075	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
21	4, 20	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393   ∖ cdif 3882  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033   · cmul 11038  2c2 12231  ℤcz 12519   ↾_s cress 17195  mulGrpcmgp 20116  ℂ_fldccnfld 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by: (None)