Theorem 2zrngnmlid2 49159

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid2	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
4	1, 2, 3	2zrngnmrid 49158	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
5		eldifi 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ 𝐸)
6		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	5, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℂ)
10		elrabi 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
12	11, 1	eleq2s 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
13		mulcom 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
14	9, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
15	14	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
16	15	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
17	16	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
18	17	necon3d 2978	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
19	18	ralimdva 3176	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
20	19	ralimia 3098	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
21	4, 20	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132  2c2 12322  ℤcz 12618   ↾_s cress 17326  mulGrpcmgp 20274  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619

This theorem is used by: (None)