Theorem 2zrngnmrid 46848

Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmrid	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0))
2		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3	2	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4		2zrng.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
5	3, 4	elrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6		zcn 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
7	6	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
8	5, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
10	1, 9	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
13	12, 4	elrab2 3687	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14		zcn 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
15	14	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	13, 15	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
17	16	ancli 550	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	4	1neven 46830	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∉ 𝐸
19		elnelne2 3059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
20	18, 19	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
21	20	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24		3anass 1096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25		ancom 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
26	24, 25	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
27	23, 26	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28		divcan3 11898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30		divid 11901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
31	30	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
32	21, 29, 31	3netr4d 3019	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34		mulcl 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
35	33, 22, 34	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
36	33	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38		div11 11900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
40	39	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
41	40	necon3d 2962	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
42	32, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
43	10, 17, 42	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
44	43	rgen2 3198	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∉ wnel 3047  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   / cdiv 11871  2c2 12267  ℤcz 12558   ↾_s cress 17173  mulGrpcmgp 19987  ℂ_fldccnfld 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  46849