Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmrid 47095
Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmrid 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4790 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎𝐸𝑎 ≠ 0))
2 eqeq1 2735 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
32rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4 2zrng.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
53, 4elrab2 3686 . . . . . 6 (𝑎𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6 zcn 12570 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
85, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
98anim1i 614 . . . 4 ((𝑎𝐸𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
101, 9sylbi 216 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11 eqeq1 2735 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1312, 4elrab2 3686 . . . . 5 (𝑏𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14 zcn 12570 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
1613, 15sylbi 216 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1716ancli 548 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ))
1841neven 47077 . . . . . . 7 1 ∉ 𝐸
19 elnelne2 3057 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
2018, 19mpan2 688 . . . . . 6 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
2120ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
2322anim2i 616 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24 3anass 1094 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2624, 25bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2723, 26sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28 divcan3 11905 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30 divid 11908 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3130adantr 480 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3221, 29, 313netr4d 3017 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34 mulcl 11200 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3533, 22, 34syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3633adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38 div11 11907 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
4039biimprd 247 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
4140necon3d 2960 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
4232, 41mpd 15 . . 3 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4310, 17, 42syl2an 595 . 2 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4443rgen2 3196 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wnel 3045  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cdif 3945  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   / cdiv 11878  2c2 12274  cz 12565  s cress 17180  mulGrpcmgp 20035  fldccnfld 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  47096
  Copyright terms: Public domain W3C validator