Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmrid 48100
Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmrid 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4791 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎𝐸𝑎 ≠ 0))
2 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
32rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4 2zrng.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
53, 4elrab2 3698 . . . . . 6 (𝑎𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
85, 7sylbi 217 . . . . 5 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
98anim1i 615 . . . 4 ((𝑎𝐸𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
101, 9sylbi 217 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1312, 4elrab2 3698 . . . . 5 (𝑏𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14 zcn 12616 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
1613, 15sylbi 217 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1716ancli 548 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ))
1841neven 48082 . . . . . . 7 1 ∉ 𝐸
19 elnelne2 3056 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
2018, 19mpan2 691 . . . . . 6 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
2120ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
2322anim2i 617 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24 3anass 1094 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2624, 25bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2723, 26sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28 divcan3 11946 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30 divid 11951 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3130adantr 480 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3221, 29, 313netr4d 3016 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3533, 22, 34syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3633adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38 div11 11948 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
4039biimprd 248 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
4140necon3d 2959 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
4232, 41mpd 15 . . 3 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4310, 17, 42syl2an 596 . 2 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4443rgen2 3197 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  s cress 17274  mulGrpcmgp 20152  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  48101
  Copyright terms: Public domain W3C validator