Theorem 2zrngnmrid 46801

Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmrid	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4789	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0))
2		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3	2	rexbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4		2zrng.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
5	3, 4	elrab2 3685	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6		zcn 12559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
8	5, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
10	1, 9	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11		eqeq1 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
13	12, 4	elrab2 3685	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14		zcn 12559	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	13, 15	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
17	16	ancli 549	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	4	1neven 46783	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∉ 𝐸
19		elnelne2 3058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
20	18, 19	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
21	20	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24		3anass 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25		ancom 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
26	24, 25	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
27	23, 26	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28		divcan3 11894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30		divid 11897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
32	21, 29, 31	3netr4d 3018	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34		mulcl 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
35	33, 22, 34	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
36	33	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38		div11 11896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
40	39	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
41	40	necon3d 2961	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
42	32, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
43	10, 17, 42	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
44	43	rgen2 3197	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11867  2c2 12263  ℤcz 12554   ↾_s cress 17169  mulGrpcmgp 19981  ℂ_fldccnfld 20936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  46802