Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmrid 46936
Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2zrngbas.r ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
2zrngmmgm.1 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmrid โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ธ โˆ– {0})โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰  ๐‘Ž
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ง   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 2zrngnmrid
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4789 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ (๐ธ โˆ– {0}) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘Ž โ‰  0))
2 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘Ž = (2 ยท ๐‘ฅ)))
32rexbidv 3176 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘Ž โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (2 ยท ๐‘ฅ)))
4 2zrng.e . . . . . . 7 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
53, 4elrab2 3685 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (2 ยท ๐‘ฅ)))
6 zcn 12567 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
76adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
85, 7sylbi 216 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
98anim1i 613 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0))
101, 9sylbi 216 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ (๐ธ โˆ– {0}) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0))
11 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1211rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1312, 4elrab2 3685 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
14 zcn 12567 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1613, 15sylbi 216 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716ancli 547 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
1841neven 46918 . . . . . . 7 1 โˆ‰ ๐ธ
19 elnelne2 3056 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง 1 โˆ‰ ๐ธ) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
2018, 19mpan2 687 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ โ‰  1)
2120ad2antrl 724 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2322anim2i 615 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
24 3anass 1093 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0)))
25 ancom 459 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0)) โ†” ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
2624, 25bitri 274 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†” ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚))
2723, 26sylibr 233 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0))
28 divcan3 11902 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) = ๐‘)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) = ๐‘)
30 divid 11905 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘Ž) = 1)
3130adantr 479 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘Ž) = 1)
3221, 29, 313netr4d 3016 . . . 4 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) โ‰  (๐‘Ž / ๐‘Ž))
33 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
34 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3533, 22, 34syl2an 594 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3633adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
37 simpl 481 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0))
38 div11 11904 . . . . . . 7 (((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) = (๐‘Ž / ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = ๐‘Ž))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) = (๐‘Ž / ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = ๐‘Ž))
4039biimprd 247 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) = (๐‘Ž / ๐‘Ž)))
4140necon3d 2959 . . . 4 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) / ๐‘Ž) โ‰  (๐‘Ž / ๐‘Ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰  ๐‘Ž))
4232, 41mpd 15 . . 3 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰  ๐‘Ž)
4310, 17, 42syl2an 594 . 2 ((๐‘Ž โˆˆ (๐ธ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰  ๐‘Ž)
4443rgen2 3195 1 โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ธ โˆ– {0})โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰  ๐‘Ž
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ‰ wnel 3044  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  {crab 3430   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„คcz 12562   โ†พs cress 17177  mulGrpcmgp 20028  โ„‚fldccnfld 21144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  46937
  Copyright terms: Public domain W3C validator