Theorem 2zrngnmrid 47095

Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmrid	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0))
2		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3	2	rexbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4		2zrng.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
5	3, 4	elrab2 3686	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6		zcn 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
8	5, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
10	1, 9	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
13	12, 4	elrab2 3686	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14		zcn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	13, 15	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
17	16	ancli 548	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	4	1neven 47077	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∉ 𝐸
19		elnelne2 3057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
20	18, 19	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
21	20	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
26	24, 25	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
27	23, 26	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28		divcan3 11905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30		divid 11908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
32	21, 29, 31	3netr4d 3017	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34		mulcl 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
35	33, 22, 34	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
36	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38		div11 11907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
40	39	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
41	40	necon3d 2960	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
42	32, 41	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
43	10, 17, 42	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
44	43	rgen2 3196	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∉ wnel 3045  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   / cdiv 11878  2c2 12274  ℤcz 12565   ↾_s cress 17180  mulGrpcmgp 20035  ℂ_fldccnfld 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  47096