Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmrid 42815
Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmrid 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4538 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎𝐸𝑎 ≠ 0))
2 eqeq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
32rexbidv 3262 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4 2zrng.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
53, 4elrab2 3589 . . . . . 6 (𝑎𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6 zcn 11716 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
76adantr 474 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
85, 7sylbi 209 . . . . 5 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
98anim1i 608 . . . 4 ((𝑎𝐸𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
101, 9sylbi 209 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11 eqeq1 2829 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1312, 4elrab2 3589 . . . . 5 (𝑏𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14 zcn 11716 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
1514adantr 474 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
1613, 15sylbi 209 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1716ancli 544 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ))
1841neven 42797 . . . . . . 7 1 ∉ 𝐸
19 elnelne2 3113 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
2018, 19mpan2 682 . . . . . 6 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
2120ad2antrl 719 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
2322anim2i 610 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24 3anass 1120 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25 ancom 454 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2624, 25bitri 267 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2723, 26sylibr 226 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28 divcan3 11043 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30 divid 11046 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3130adantr 474 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3221, 29, 313netr4d 3076 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34 mulcl 10343 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3533, 22, 34syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3633adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37 simpl 476 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38 div11 11045 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
4039biimprd 240 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
4140necon3d 3020 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
4232, 41mpd 15 . . 3 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4310, 17, 42syl2an 589 . 2 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4443rgen2 3184 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wnel 3102  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  cdif 3795  {csn 4399  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   / cdiv 11016  2c2 11413  cz 11711  s cress 16230  mulGrpcmgp 18850  fldccnfld 20113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  42816
  Copyright terms: Public domain W3C validator