Theorem 2zrngnmrid 49269

Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmrid	⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0))
2		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3	2	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4		2zrng.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
5	3, 4	elrab2 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6		zcn 12653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
8	5, 7	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
10	1, 9	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
13	12, 4	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14		zcn 12653	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	13, 15	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
17	16	ancli 558	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	4	1neven 49251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∉ 𝐸
19		elnelne2 3073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
20	18, 19	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
21	20	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23	22	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24		3anass 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25		ancom 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
26	24, 25	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
27	23, 26	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28		divcan3 11955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30		divid 11959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
32	21, 29, 31	3netr4d 3032	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34		mulcl 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
35	33, 22, 34	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
36	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38		div11 11957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
40	39	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
41	40	necon3d 2976	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
42	32, 41	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
43	10, 17, 42	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
44	43	rgen2 3202	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158   · cmul 11162   / cdiv 11928  2c2 12352  ℤcz 12648   ↾_s cress 17355  mulGrpcmgp 20307  ℂ_fldccnfld 21625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649

This theorem is used by:  2zrngnmlid2  49270