Theorem 4sqlem1 16998

Description: Lemma for 4sq 17014. The set 𝑆 is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that 𝑆 = ℕ₀; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem1	⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2		zsqcl2 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℕ0)
3		zsqcl2 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℕ0)
4		nn0addcl 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦↑2) ∈ ℕ0) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0)
6		zsqcl2 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℕ0)
7		zsqcl2 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (𝑤↑2) ∈ ℕ0)
8		nn0addcl 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤↑2) ∈ ℕ0) → ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0)
9	6, 7, 8	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 12530	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0)
11	5, 9, 10	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0)
12		eleq1a 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0 → (𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
14	13	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
15	14	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16	15	abssi 4024	. 2 ⊢ {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))} ⊆ ℕ0
17	1, 16	eqsstri 3985	1 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  (class class class)co 7400   + caddc 11091  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  4sqlem19  17013