Theorem 4sqlem1 15869

Description: Lemma for 4sq 15885. The set 𝑆 is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that 𝑆 = ℕ₀; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem1	⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2		zsqcl2 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℕ0)
3		zsqcl2 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℕ0)
4		nn0addcl 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦↑2) ∈ ℕ0) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	syl2an 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0)
6		zsqcl2 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℕ0)
7		zsqcl2 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (𝑤↑2) ∈ ℕ0)
8		nn0addcl 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤↑2) ∈ ℕ0) → ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0)
9	6, 7, 8	syl2an 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0)
11	5, 9, 10	syl2an 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0)
12		eleq1a 2880	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ∈ ℕ0 → (𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
14	13	rexlimdvva 3226	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0))
15	14	rexlimivv 3224	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16	15	abssi 3874	. 2 ⊢ {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))} ⊆ ℕ0
17	1, 16	eqsstri 3832	1 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  {cab 2792  ∃wrex 3097   ⊆ wss 3769  (class class class)co 6874   + caddc 10224  2c2 11356  ℕ₀cn0 11559  ℤcz 11643  ↑cexp 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-seq 13025  df-exp 13084

This theorem is referenced by:  4sqlem19  15884