MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsqcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsqcl2 13311
Description: The square of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqcl2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem zsqcl2
StepHypRef Expression
1 zsqcl 13303 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2 zre 11791 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 sqge0 13310 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ≤ (𝐴↑2))
5 elnn0z 11800 . 2 ((𝐴↑2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)))
61, 4, 5sylanbrc 575 1 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2050   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  cr 10328  0cc0 10329  cle 10469  2c2 11489  0cn0 11701  cz 11787  cexp 13238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-seq 13179  df-exp 13239
This theorem is referenced by:  znsqcld  13335  gzabssqcl  16127  4sqlem1  16134  4sqlem12  16142  4sqlem14  16144  4sqlem16  16146  lgsdir  25604  2sqlem7  25696  2sqlem8  25698  2sqblem  25703
  Copyright terms: Public domain W3C validator