HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjvalval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjvalval 31965
Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjvalval ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ค

Proof of Theorem adjvalval
StepHypRef Expression
1 adjcl 31960 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
2 eqcom 2741 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด))
3 adj2 31962 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
433com23 1125 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
543expa 1117 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
65eqeq2d 2745 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
72, 6bitrid 283 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
87ralbidva 3173 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
98adantr 480 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
10 simpr 484 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
111adantr 480 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
12 hial2eq2 31135 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
149, 13bitrd 279 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
151, 14riota5 7416 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))
1615eqcomd 2740 1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 206   โˆง wa 395   = wceq 1536   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3058  dom cdm 5688  โ€˜cfv 6562  โ„ฉcrio 7386  (class class class)co 7430   โ„‹chba 30947   ยทih csp 30950  adjโ„Žcado 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-hvsub 30999  df-adjh 31877
This theorem is referenced by:  nmopadjlei  32116
  Copyright terms: Public domain W3C validator