Theorem adjvalval 32025

Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjvalval	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐴   𝑥,𝑇,𝑤

Proof of Theorem adjvalval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjcl 32020	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
2		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴))
3		adj2 32022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
4	3	3com23 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
5	4	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
6	5	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
7	2, 6	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
8	7	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
12		hial2eq2 31195	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
14	9, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
15	1, 14	riota5 7354	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)) = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))
16	15	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368   ℋchba 31007   ·_ih csp 31010  adj_ℎcado 31043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-hvsub 31059  df-adjh 31937

This theorem is referenced by:  nmopadjlei  32176