Theorem adjvalval 31912

Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjvalval	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐴   𝑥,𝑇,𝑤

Proof of Theorem adjvalval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjcl 31907	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
2		eqcom 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴))
3		adj2 31909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
4	3	3com23 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
5	4	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
6	5	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
7	2, 6	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
8	7	ralbidva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
12		hial2eq2 31082	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
14	9, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
15	1, 14	riota5 7332	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)) = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))
16	15	eqcomd 2737	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346   ℋchba 30894   ·_ih csp 30897  adj_ℎcado 30930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hvcom 30976  ax-hvass 30977  ax-hv0cl 30978  ax-hvaddid 30979  ax-hfvmul 30980  ax-hvmulid 30981  ax-hvdistr2 30984  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his1 31057  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-hvsub 30946  df-adjh 31824

This theorem is referenced by:  nmopadjlei  32063