Theorem adjvalval 32421

Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjvalval	⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐴   𝑥,𝑇,𝑤

Proof of Theorem adjvalval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjcl 32416	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
2		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴))
3		adj2 32418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
4	3	3com23 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
5	4	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
6	5	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝑤) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
7	2, 6	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
8	7	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))))
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
11	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
12		hial2eq2 31591	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑤) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
14	9, 13	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤) ↔ 𝑤 = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴)))
15	1, 14	riota5 7400	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)) = ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴))
16	15	eqcomd 2766	1 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adjℎ‘𝑇)‘𝐴) = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  ℩crio 7370  (class class class)co 7414   ℋchba 31403   ·_ih csp 31406  adj_ℎcado 31439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568  ax-his4 31569

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-hvsub 31455  df-adjh 32333

This theorem is used by:  nmopadjlei  32572