HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjvalval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjvalval 30708
Description: Value of the value of the adjoint function. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjvalval ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ค

Proof of Theorem adjvalval
StepHypRef Expression
1 adjcl 30703 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
2 eqcom 2744 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด))
3 adj2 30705 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
433com23 1126 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
543expa 1118 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
65eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
72, 6bitrid 282 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
87ralbidva 3170 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
98adantr 481 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))))
10 simpr 485 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
111adantr 481 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
12 hial2eq2 29878 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
149, 13bitrd 278 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค) โ†” ๐‘ค = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด)))
151, 14riota5 7337 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด))
1615eqcomd 2743 1 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐ด) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  dom cdm 5631  โ€˜cfv 6493  โ„ฉcrio 7306  (class class class)co 7351   โ„‹chba 29690   ยทih csp 29693  adjโ„Žcado 29726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781  ax-hfi 29850  ax-his1 29853  ax-his2 29854  ax-his3 29855  ax-his4 29856
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-2 12174  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-hvsub 29742  df-adjh 30620
This theorem is referenced by:  nmopadjlei  30859
  Copyright terms: Public domain W3C validator