Theorem ax5seglem8 29009

Description: Lemma for ax5seg 29011. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 29008. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem8	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)))
3	2	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷))
4	3	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
5		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶))
6	5	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2))
7	6	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) = (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
8		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷))
9	8	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))
10	7, 9	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)) = ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
11	10	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
12	4, 11	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
13	12	eqeq2d 2747	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) ↔ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
14		oveq1 7365	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)))
15		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (1 − 𝑇) = (1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)))
16	15	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
17		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶))
18	16, 17	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)))
19	18	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷))
20	19	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
21		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
22	21	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
23	15, 22	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
24	20, 23	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
25	14, 24	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
26		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (𝐶 − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷))
27	26	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((𝐶 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2))
28	27	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)))
29		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
30	29	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))))
31	30	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷))
32	31	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2))
33		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
34	33	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2))
35	34	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)))
36	35	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
37	36	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
38	32, 37	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
39	28, 38	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
40		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
41	40	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
42	41	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
43		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
44	43	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
45		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
46	45	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
47	46	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
48	47	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
49	44, 48	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))))
50	42, 49	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))))
51		0cn 11124	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
53	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) ∈ ℂ
54	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) ∈ ℂ
55	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) ∈ ℂ
56	52, 53, 54, 55	ax5seglem7 29008	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
57	13, 25, 39, 50, 56	dedth4h 4541	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  ax5seglem9  29010