MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem8 28702
Description: Lemma for ax5seg 28704. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 28701. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)))
21oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)))
32oveq1d 7420 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท))
43oveq1d 7420 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
5 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ))
65oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2))
76oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)))
8 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท))
98oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
107, 9oveq12d 7423 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
1110oveq2d 7421 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
124, 11oveq12d 7423 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
1312eqeq2d 2737 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
14 oveq1 7412 . . 3 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
15 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = (1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)))
1615oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)))
17 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ถ) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ))
1816, 17oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)))
1918oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท))
2019oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
21 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)))
2221oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
2315, 22oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
2420, 23oveq12d 7423 . . 3 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
2514, 24eqeq12d 2742 . 2 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
26 oveq1 7412 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท))
2726oveq1d 7420 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
2827oveq2d 7421 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
29 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0)))
3029oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))))
3130oveq1d 7420 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท))
3231oveq1d 7420 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
33 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0)))
3433oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2))
3534oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)))
3635oveq1d 7420 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
3736oveq2d 7421 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
3832, 37oveq12d 7423 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
3928, 38eqeq12d 2742 . 2 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
40 oveq2 7413 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4140oveq1d 7420 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
4241oveq2d 7421 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))
43 oveq2 7413 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4443oveq1d 7420 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
45 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4645oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
4746oveq2d 7421 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))
4847oveq2d 7421 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))
4944, 48oveq12d 7423 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))))
5042, 49eqeq12d 2742 . 2 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))))
51 0cn 11210 . . . 4 0 โˆˆ โ„‚
5251elimel 4592 . . 3 if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚
5351elimel 4592 . . 3 if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โˆˆ โ„‚
5451elimel 4592 . . 3 if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚
5551elimel 4592 . . 3 if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โˆˆ โ„‚
5652, 53, 54, 55ax5seglem7 28701 . 2 (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))
5713, 25, 39, 50, 56dedth4h 4584 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  2c2 12271  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  ax5seglem9  28703
  Copyright terms: Public domain W3C validator