Theorem ax5seglem8 28791

Description: Lemma for ax5seg 28793. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 28790. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem8	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)))
3	2	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷))
4	3	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
5		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶))
6	5	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2))
7	6	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) = (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
8		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷))
9	8	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))
10	7, 9	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)) = ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
11	10	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
12	4, 11	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
13	12	eqeq2d 2736	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) ↔ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
14		oveq1 7423	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)))
15		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (1 − 𝑇) = (1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)))
16	15	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
17		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶))
18	16, 17	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)))
19	18	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷))
20	19	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
21		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
22	21	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
23	15, 22	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
24	20, 23	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
25	14, 24	eqeq12d 2741	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
26		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (𝐶 − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷))
27	26	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((𝐶 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2))
28	27	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)))
29		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
30	29	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))))
31	30	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷))
32	31	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2))
33		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
34	33	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2))
35	34	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)))
36	35	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
37	36	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
38	32, 37	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
39	28, 38	eqeq12d 2741	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
40		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
41	40	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
42	41	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
43		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
44	43	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
45		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
46	45	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
47	46	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
48	47	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
49	44, 48	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))))
50	42, 49	eqeq12d 2741	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))))
51		0cn 11236	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	51	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
53	51	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) ∈ ℂ
54	51	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) ∈ ℂ
55	51	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) ∈ ℂ
56	52, 53, 54, 55	ax5seglem7 28790	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
57	13, 25, 39, 50, 56	dedth4h 4585	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  2c2 12297  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  ax5seglem9  28792