MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem8 28791
Description: Lemma for ax5seg 28793. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 28790. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8
StepHypRef Expression
1 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)))
21oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)))
32oveq1d 7431 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท))
43oveq1d 7431 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
5 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ))
65oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2))
76oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)))
8 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท))
98oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
107, 9oveq12d 7434 . . . . 5 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
1110oveq2d 7432 . . . 4 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
124, 11oveq12d 7434 . . 3 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
1312eqeq2d 2736 . 2 (๐ด = if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
14 oveq1 7423 . . 3 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
15 oveq2 7424 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = (1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)))
1615oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)))
17 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ถ) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ))
1816, 17oveq12d 7434 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)))
1918oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท))
2019oveq1d 7431 . . . 4 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
21 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ (๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)))
2221oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
2315, 22oveq12d 7434 . . . 4 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
2420, 23oveq12d 7434 . . 3 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
2514, 24eqeq12d 2741 . 2 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โ†’ ((๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
26 oveq1 7423 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท))
2726oveq1d 7431 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
2827oveq2d 7432 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
29 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0)))
3029oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))))
3130oveq1d 7431 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท))
3231oveq1d 7431 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))
33 oveq2 7424 . . . . . . . 8 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0)))
3433oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2))
3534oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)))
3635oveq1d 7431 . . . . 5 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))
3736oveq2d 7432 . . . 4 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))
3832, 37oveq12d 7434 . . 3 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
3928, 38eqeq12d 2741 . 2 (๐ถ = if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))))))
40 oveq2 7424 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท) = (if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4140oveq1d 7431 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
4241oveq2d 7432 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))
43 oveq2 7424 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท) = ((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4443oveq1d 7431 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = (((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
45 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท) = (if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0)))
4645oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) = ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))
4746oveq2d 7432 . . . . 5 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))
4847oveq2d 7432 . . . 4 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))
4944, 48oveq12d 7434 . . 3 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)))))
5042, 49eqeq12d 2741 . 2 (๐ท = if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โ†’ ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))))
51 0cn 11236 . . . 4 0 โˆˆ โ„‚
5251elimel 4593 . . 3 if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚
5351elimel 4593 . . 3 if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) โˆˆ โ„‚
5451elimel 4593 . . 3 if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚
5551elimel 4593 . . 3 if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0) โˆˆ โ„‚
5652, 53, 54, 55ax5seglem7 28790 . 2 (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0)) + (if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2) + ((1 โˆ’ if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0)) ยท ((if(๐‘‡ โˆˆ โ„‚, ๐‘‡, 0) ยท ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ถ โˆˆ โ„‚, ๐ถ, 0))โ†‘2)) โˆ’ ((if(๐ด โˆˆ โ„‚, ๐ด, 0) โˆ’ if(๐ท โˆˆ โ„‚, ๐ท, 0))โ†‘2))))
5713, 25, 39, 50, 56dedth4h 4585 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘‡ ยท ((๐ถ โˆ’ ๐ท)โ†‘2)) = ((((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) โˆ’ ๐ท)โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ((๐‘‡ ยท ((๐ด โˆ’ ๐ถ)โ†‘2)) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)โ†‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4524  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  2c2 12297  โ†‘cexp 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059
This theorem is referenced by:  ax5seglem9  28792
  Copyright terms: Public domain W3C validator