Theorem ax5seglem8 29083

Description: Lemma for ax5seg 29085. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 29082. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem8	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)))
3	2	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷))
4	3	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
5		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶))
6	5	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2))
7	6	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) = (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
8		oveq1 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷))
9	8	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))
10	7, 9	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)) = ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
11	10	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
12	4, 11	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
13	12	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) ↔ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
14		oveq1 7399	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)))
15		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (1 − 𝑇) = (1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)))
16	15	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
17		oveq1 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶))
18	16, 17	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)))
19	18	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷))
20	19	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
21		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
22	21	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
23	15, 22	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
24	20, 23	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
25	14, 24	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
26		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (𝐶 − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷))
27	26	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((𝐶 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2))
28	27	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)))
29		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
30	29	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))))
31	30	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷))
32	31	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2))
33		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
34	33	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2))
35	34	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)))
36	35	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
37	36	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
38	32, 37	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
39	28, 38	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
40		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
41	40	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
42	41	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
43		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
44	43	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
45		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
46	45	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
47	46	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
48	47	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
49	44, 48	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))))
50	42, 49	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))))
51		0cn 11168	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
53	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) ∈ ℂ
54	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) ∈ ℂ
55	51	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) ∈ ℂ
56	52, 53, 54, 55	ax5seglem7 29082	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
57	13, 25, 39, 50, 56	dedth4h 4541	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  2c2 12269  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  ax5seglem9  29084