MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem8 28462
Description: Lemma for ax5seg 28464. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 28461. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
21oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)))
32oveq1d 7427 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷))
43oveq1d 7427 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
5 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶))
65oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2))
76oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) = (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
8 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷))
98oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))
107, 9oveq12d 7430 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)) = ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
1110oveq2d 7428 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
124, 11oveq12d 7430 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
1312eqeq2d 2742 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) ↔ (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
14 oveq1 7419 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶𝐷)↑2)))
15 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (1 − 𝑇) = (1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)))
1615oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
17 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶))
1816, 17oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)))
1918oveq1d 7427 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷))
2019oveq1d 7427 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
21 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
2221oveq1d 7427 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
2315, 22oveq12d 7430 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
2420, 23oveq12d 7430 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
2514, 24eqeq12d 2747 . 2 (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
26 oveq1 7419 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (𝐶𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷))
2726oveq1d 7427 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((𝐶𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2))
2827oveq2d 7428 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)))
29 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
3029oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))))
3130oveq1d 7427 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷))
3231oveq1d 7427 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2))
33 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
3433oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2))
3534oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)))
3635oveq1d 7427 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
3736oveq2d 7428 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
3832, 37oveq12d 7430 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
3928, 38eqeq12d 2747 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
40 oveq2 7420 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
4140oveq1d 7427 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
4241oveq2d 7428 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
43 oveq2 7420 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
4443oveq1d 7427 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
45 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
4645oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
4746oveq2d 7428 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
4847oveq2d 7428 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
4944, 48oveq12d 7430 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))))
5042, 49eqeq12d 2747 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))))
51 0cn 11211 . . . 4 0 ∈ ℂ
5251elimel 4597 . . 3 if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
5351elimel 4597 . . 3 if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) ∈ ℂ
5451elimel 4597 . . 3 if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) ∈ ℂ
5551elimel 4597 . . 3 if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) ∈ ℂ
5652, 53, 54, 55ax5seglem7 28461 . 2 (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
5713, 25, 39, 50, 56dedth4h 4589 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  ifcif 4528  (class class class)co 7412  cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119  cmin 11449  2c2 12272  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  ax5seglem9  28463
  Copyright terms: Public domain W3C validator