Theorem ax5seglem8 29401

Description: Lemma for ax5seg 29403. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 29400. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem8	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

Proof of Theorem ax5seglem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)))
3	2	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷))
4	3	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
5		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶))
6	5	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2))
7	6	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) = (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
8		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷))
9	8	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))
10	7, 9	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)) = ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
11	10	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
12	4, 11	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
13	12	eqeq2d 2773	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))) ↔ (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
14		oveq1 7424	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)))
15		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (1 − 𝑇) = (1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)))
16	15	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
17		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶))
18	16, 17	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)))
19	18	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷))
20	19	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2))
21		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → (𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)))
22	21	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
23	15, 22	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
24	20, 23	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
25	14, 24	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) → ((𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
26		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (𝐶 − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷))
27	26	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((𝐶 − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2))
28	27	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)))
29		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
30	29	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) = (((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))))
31	30	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷))
32	31	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2))
33		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0)))
34	33	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2))
35	34	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)))
36	35	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))
37	36	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))
38	32, 37	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))))
39	28, 38	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐶)↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))))))
40		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
41	40	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
42	41	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
43		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷) = ((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
44	43	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) = (((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
45		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0)))
46	45	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))
47	46	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)) = ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))
48	47	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2))) = ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
49	44, 48	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)))))
50	42, 49	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) → ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − 𝐷)↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − 𝐷)↑2)))) ↔ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))))
51		0cn 11226	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	51	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
53	51	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) ∈ ℂ
54	51	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) ∈ ℂ
55	51	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0) ∈ ℂ
56	52, 53, 54, 55	ax5seglem7 29400	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2)) = ((((((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) + (if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2) + ((1 − if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0)) · ((if(𝑇 ∈ ℂ, 𝑇, 0) · ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℂ, 𝐶, 0))↑2)) − ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) − if(𝐷 ∈ ℂ, 𝐷, 0))↑2))))
57	13, 25, 39, 50, 56	dedth4h 4547	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝑇 · ((𝐶 − 𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴 − 𝐶)↑2)) − ((𝐴 − 𝐷)↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  2c2 12323  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  ax5seglem9  29402