Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprll 778 |
. . . . . 6
β’ ((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β π΄ β (πΌβπ)) |
2 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β π΄ β (πΌβπ)) |
3 | | fveecn 27893 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π β (1...π)) β (π΄βπ) β β) |
4 | 2, 3 | sylancom 589 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π΄βπ) β β) |
5 | | elicc01 13389 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0[,]1) β (π β β β§ 0 β€
π β§ π β€ 1)) |
6 | 5 | simp1bi 1146 |
. . . . . . 7
β’ (π β (0[,]1) β π β
β) |
7 | 6 | recnd 11188 |
. . . . . 6
β’ (π β (0[,]1) β π β
β) |
8 | 7 | ad2antrl 727 |
. . . . 5
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β π β β) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β π β β) |
10 | | simprrl 780 |
. . . . . 6
β’ ((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β πΆ β (πΌβπ)) |
11 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β πΆ β (πΌβπ)) |
12 | | fveecn 27893 |
. . . . 5
β’ ((πΆ β (πΌβπ) β§ π β (1...π)) β (πΆβπ) β β) |
13 | 11, 12 | sylancom 589 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (πΆβπ) β β) |
14 | | simprrr 781 |
. . . . . 6
β’ ((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β π· β (πΌβπ)) |
15 | 14 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β π· β (πΌβπ)) |
16 | | fveecn 27893 |
. . . . 5
β’ ((π· β (πΌβπ) β§ π β (1...π)) β (π·βπ) β β) |
17 | 15, 16 | sylancom 589 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π·βπ) β β) |
18 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π΅βπ) = (π΅βπ)) |
19 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π΄βπ) = (π΄βπ)) |
20 | 19 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β ((1 β π) Β· (π΄βπ)) = ((1 β π) Β· (π΄βπ))) |
21 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (πΆβπ) = (πΆβπ)) |
22 | 21 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (π Β· (πΆβπ)) = (π Β· (πΆβπ))) |
23 | 20, 22 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) |
24 | 18, 23 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β ((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) |
25 | 24 | rspccva 3579 |
. . . . . 6
β’
((βπ β
(1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β§ π β (1...π)) β (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) |
26 | 25 | adantll 713 |
. . . . 5
β’ (((π β (0[,]1) β§
βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) β§ π β (1...π)) β (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) |
27 | 26 | adantll 713 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) |
28 | | ax5seglem8 27927 |
. . . . . 6
β’ ((((π΄βπ) β β β§ π β β) β§ ((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β)) β (π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = ((((((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
29 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β ((π΅βπ) β (π·βπ)) = ((((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π·βπ))) |
30 | 29 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (((π΅βπ) β (π·βπ))β2) = (((((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π·βπ))β2)) |
31 | 30 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
β’ ((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β ((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) = ((((((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
32 | 31 | eqcomd 2739 |
. . . . . 6
β’ ((π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β ((((((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) = ((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
33 | 28, 32 | sylan9eq 2793 |
. . . . 5
β’
(((((π΄βπ) β β β§ π β β) β§ ((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β)) β§ (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) β (π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = ((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
34 | 33 | 3impa 1111 |
. . . 4
β’ ((((π΄βπ) β β β§ π β β) β§ ((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β) β§ (π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ)))) β (π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = ((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
35 | 4, 9, 13, 17, 27, 34 | syl221anc 1382 |
. . 3
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = ((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
36 | 35 | sumeq2dv 15593 |
. 2
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β Ξ£π β (1...π)(π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = Ξ£π β (1...π)((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
37 | | fzfid 13884 |
. . 3
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (1...π) β Fin) |
38 | 13, 17 | subcld 11517 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((πΆβπ) β (π·βπ)) β β) |
39 | 38 | sqcld 14055 |
. . 3
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (((πΆβπ) β (π·βπ))β2) β β) |
40 | 37, 8, 39 | fsummulc2 15674 |
. 2
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (π Β· Ξ£π β (1...π)(((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = Ξ£π β (1...π)(π Β· (((πΆβπ) β (π·βπ))β2))) |
41 | 4, 13 | subcld 11517 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((π΄βπ) β (πΆβπ)) β β) |
42 | 41 | sqcld 14055 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2) β β) |
43 | 37, 8, 42 | fsummulc2 15674 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) = Ξ£π β (1...π)(π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2))) |
44 | 43 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2)) = (Ξ£π β (1...π)(π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) |
45 | 9, 42 | mulcld 11180 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β β) |
46 | 4, 17 | subcld 11517 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((π΄βπ) β (π·βπ)) β β) |
47 | 46 | sqcld 14055 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2) β β) |
48 | 37, 45, 47 | fsumsub 15678 |
. . . . . . 7
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β Ξ£π β (1...π)((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)) = (Ξ£π β (1...π)(π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) |
49 | 44, 48 | eqtr4d 2776 |
. . . . . 6
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2)) = Ξ£π β (1...π)((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) |
50 | 49 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β ((1 β π) Β· ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) = ((1 β π) Β· Ξ£π β (1...π)((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) |
51 | | ax-1cn 11114 |
. . . . . . 7
β’ 1 β
β |
52 | | subcl 11405 |
. . . . . . 7
β’ ((1
β β β§ π
β β) β (1 β π) β β) |
53 | 51, 8, 52 | sylancr 588 |
. . . . . 6
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (1 β π) β β) |
54 | 45, 47 | subcld 11517 |
. . . . . 6
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)) β β) |
55 | 37, 53, 54 | fsummulc2 15674 |
. . . . 5
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β ((1 β π) Β· Ξ£π β (1...π)((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) = Ξ£π β (1...π)((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) |
56 | 50, 55 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β ((1 β π) Β· ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) = Ξ£π β (1...π)((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) |
57 | 56 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (Ξ£π β (1...π)(((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) = (Ξ£π β (1...π)(((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + Ξ£π β (1...π)((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
58 | | simprlr 779 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β π΅ β (πΌβπ)) |
59 | 58 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β π΅ β (πΌβπ)) |
60 | | fveecn 27893 |
. . . . . . 7
β’ ((π΅ β (πΌβπ) β§ π β (1...π)) β (π΅βπ) β β) |
61 | 59, 60 | sylancom 589 |
. . . . . 6
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (π΅βπ) β β) |
62 | 61, 17 | subcld 11517 |
. . . . 5
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((π΅βπ) β (π·βπ)) β β) |
63 | 62 | sqcld 14055 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (((π΅βπ) β (π·βπ))β2) β β) |
64 | 51, 9, 52 | sylancr 588 |
. . . . 5
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β (1 β π) β β) |
65 | 64, 54 | mulcld 11180 |
. . . 4
β’ ((((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β§ π β (1...π)) β ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))) β β) |
66 | 37, 63, 65 | fsumadd 15630 |
. . 3
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β Ξ£π β (1...π)((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) = (Ξ£π β (1...π)(((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + Ξ£π β (1...π)((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
67 | 57, 66 | eqtr4d 2776 |
. 2
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (Ξ£π β (1...π)(((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2)))) = Ξ£π β (1...π)((((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· (((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β (((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |
68 | 36, 40, 67 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ (((π β β β§ ((π΄ β (πΌβπ) β§ π΅ β (πΌβπ)) β§ (πΆ β (πΌβπ) β§ π· β (πΌβπ)))) β§ (π β (0[,]1) β§ βπ β (1...π)(π΅βπ) = (((1 β π) Β· (π΄βπ)) + (π Β· (πΆβπ))))) β (π Β· Ξ£π β (1...π)(((πΆβπ) β (π·βπ))β2)) = (Ξ£π β (1...π)(((π΅βπ) β (π·βπ))β2) + ((1 β π) Β· ((π Β· Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (πΆβπ))β2)) β Ξ£π β (1...π)(((π΄βπ) β (π·βπ))β2))))) |