MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem9 27928
Description: Lemma for ax5seg 27929. Take the calculation in ax5seglem8 27927 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗   𝐢,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem9
StepHypRef Expression
1 simprll 778 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
21ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 fveecn 27893 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
42, 3sylancom 589 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
5 elicc01 13389 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑇 ∧ 𝑇 ≀ 1))
65simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
76recnd 11188 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
87ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
98adantr 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
10 simprrl 780 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1110ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
12 fveecn 27893 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
1311, 12sylancom 589 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 simprrr 781 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1514ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
16 fveecn 27893 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
1715, 16sylancom 589 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
18 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
19 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
2019oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)))
21 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘–) = (πΆβ€˜π‘—))
2221oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)) = (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))
2320, 22oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2418, 23eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ↔ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))))
2524rspccva 3579 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2625adantll 713 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2726adantll 713 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
28 ax5seglem8 27927 . . . . . 6 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
29 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) = ((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—)))
3029oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) = (((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))
3130oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3231eqcomd 2739 . . . . . 6 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3328, 32sylan9eq 2793 . . . . 5 (((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
34333impa 1111 . . . 4 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
354, 9, 13, 17, 27, 34syl221anc 1382 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3635sumeq2dv 15593 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
37 fzfid 13884 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
3813, 17subcld 11517 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3938sqcld 14055 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4037, 8, 39fsummulc2 15674 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
414, 13subcld 11517 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4241sqcld 14055 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4337, 8, 42fsummulc2 15674 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)))
4443oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
459, 42mulcld 11180 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
464, 17subcld 11517 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4746sqcld 14055 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4837, 45, 47fsumsub 15678 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
4944, 48eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
5049oveq2d 7374 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
51 ax-1cn 11114 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
52 subcl 11405 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5351, 8, 52sylancr 588 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5445, 47subcld 11517 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
5537, 53, 54fsummulc2 15674 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5650, 55eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5756oveq2d 7374 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
58 simprlr 779 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
5958ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
60 fveecn 27893 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6159, 60sylancom 589 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6261, 17subcld 11517 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
6362sqcld 14055 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
6451, 9, 52sylancr 588 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
6564, 54mulcld 11180 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) ∈ β„‚)
6637, 63, 65fsumadd 15630 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6757, 66eqtr4d 2776 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6836, 40, 673eqtr4d 2783 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  β†‘cexp 13973  Ξ£csu 15576  π”Όcee 27879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-ee 27882
This theorem is referenced by:  ax5seg  27929
  Copyright terms: Public domain W3C validator