Theorem ax5seglem9 28917

Description: Lemma for ax5seg 28918. Take the calculation in ax5seglem8 28916 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem9	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		fveecn 28882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
4	2, 3	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
5		elicc01 13368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
10		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11	10	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		fveecn 28882	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
14		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
15	14	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		fveecn 28882	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
17	15, 16	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
18		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑗))
19		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
20	19	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)))
21		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑗))
22	21	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))
23	20, 22	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
24	18, 23	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))))
25	24	rspccva 3572	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
26	25	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
27	26	adantll 714	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))))
28		ax5seglem8 28916	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)) → (𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
29		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐷‘𝑗)))
30	29	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐷‘𝑗))↑2))
31	30	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
32	31	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) → ((((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗))) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = ((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
33	28, 32	sylan9eq 2788	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
34	33	3impa 1109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐵‘𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑗)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑗)))) → (𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
35	4, 9, 13, 17, 27, 34	syl221anc 1383	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
36	35	sumeq2dv 15611	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
37		fzfid 13882	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
38	13, 17	subcld 11479	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	sqcld 14053	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
40	37, 8, 39	fsummulc2 15693	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))
41	4, 13	subcld 11479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
42	41	sqcld 14053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
43	37, 8, 42	fsummulc2 15693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)))
44	43	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))
45	9, 42	mulcld 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
46	4, 17	subcld 11479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) ∈ ℂ)
47	46	sqcld 14053	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
48	37, 45, 47	fsumsub 15697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))
49	44, 48	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))
50	49	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) = ((1 − 𝑇) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))
51		ax-1cn 11071	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
52		subcl 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
53	51, 8, 52	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
54	45, 47	subcld 11479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
55	37, 53, 54	fsummulc2 15693	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))
56	50, 55	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))))
57	56	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
58		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
60		fveecn 28882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
61	59, 60	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
62	61, 17	subcld 11479	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) ∈ ℂ)
63	62	sqcld 14053	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
64	51, 9, 52	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
65	64, 54	mulcld 11139	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) ∈ ℂ)
66	37, 63, 65	fsumadd 15649	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
67	57, 66	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − (((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
68	36, 40, 67	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  [,]cicc 13250  ...cfz 13409  ↑cexp 13970  Σcsu 15595  𝔼cee 28867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-ee 28870

This theorem is referenced by:  ax5seg  28918