MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem9 28703
Description: Lemma for ax5seg 28704. Take the calculation in ax5seglem8 28702 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗   𝐢,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem9
StepHypRef Expression
1 simprll 776 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
21ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 fveecn 28668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
42, 3sylancom 587 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
5 elicc01 13449 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑇 ∧ 𝑇 ≀ 1))
65simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
76recnd 11246 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
87ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
98adantr 480 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
10 simprrl 778 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1110ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
12 fveecn 28668 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
1311, 12sylancom 587 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 simprrr 779 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1514ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
16 fveecn 28668 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
1715, 16sylancom 587 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
18 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
19 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
2019oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)))
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘–) = (πΆβ€˜π‘—))
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)) = (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))
2320, 22oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2418, 23eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ↔ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))))
2524rspccva 3605 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2625adantll 711 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2726adantll 711 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
28 ax5seglem8 28702 . . . . . 6 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
29 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) = ((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—)))
3029oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) = (((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))
3130oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3231eqcomd 2732 . . . . . 6 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3328, 32sylan9eq 2786 . . . . 5 (((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
34333impa 1107 . . . 4 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
354, 9, 13, 17, 27, 34syl221anc 1378 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3635sumeq2dv 15655 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
37 fzfid 13944 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
3813, 17subcld 11575 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3938sqcld 14114 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4037, 8, 39fsummulc2 15736 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
414, 13subcld 11575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4241sqcld 14114 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4337, 8, 42fsummulc2 15736 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)))
4443oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
459, 42mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
464, 17subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4746sqcld 14114 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4837, 45, 47fsumsub 15740 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
4944, 48eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
5049oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
51 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
52 subcl 11463 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5351, 8, 52sylancr 586 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5445, 47subcld 11575 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
5537, 53, 54fsummulc2 15736 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5650, 55eqtrd 2766 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5756oveq2d 7421 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
58 simprlr 777 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
5958ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
60 fveecn 28668 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6159, 60sylancom 587 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6261, 17subcld 11575 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
6362sqcld 14114 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
6451, 9, 52sylancr 586 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
6564, 54mulcld 11238 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) ∈ β„‚)
6637, 63, 65fsumadd 15692 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6757, 66eqtr4d 2769 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6836, 40, 673eqtr4d 2776 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15638  π”Όcee 28654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ee 28657
This theorem is referenced by:  ax5seg  28704
  Copyright terms: Public domain W3C validator