MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem9 28792
Description: Lemma for ax5seg 28793. Take the calculation in ax5seglem8 28791 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐡,𝑖,𝑗   𝐢,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem9
StepHypRef Expression
1 simprll 777 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
21ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 fveecn 28757 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
42, 3sylancom 586 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚)
5 elicc01 13475 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑇 ∧ 𝑇 ≀ 1))
65simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
76recnd 11272 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
87ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
98adantr 479 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
10 simprrl 779 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1110ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
12 fveecn 28757 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
1311, 12sylancom 586 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
14 simprrr 780 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1514ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
16 fveecn 28757 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
1715, 16sylancom 586 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
18 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘–) = (π΅β€˜π‘—))
19 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘—))
2019oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘–) = (πΆβ€˜π‘—))
2221oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)) = (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))
2320, 22oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2418, 23eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ↔ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))))
2524rspccva 3600 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2625adantll 712 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
2726adantll 712 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))))
28 ax5seglem8 28791 . . . . . 6 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
29 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) = ((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—)))
3029oveq1d 7431 . . . . . . . 8 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) = (((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))
3130oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3231eqcomd 2731 . . . . . 6 ((π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) β†’ ((((((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—))) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3328, 32sylan9eq 2785 . . . . 5 (((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
34333impa 1107 . . . 4 ((((π΄β€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚) ∧ (π΅β€˜π‘—) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘—)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘—)))) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
354, 9, 13, 17, 27, 34syl221anc 1378 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = ((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
3635sumeq2dv 15681 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
37 fzfid 13970 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
3813, 17subcld 11601 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3938sqcld 14140 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4037, 8, 39fsummulc2 15762 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
414, 13subcld 11601 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4241sqcld 14140 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4337, 8, 42fsummulc2 15762 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)))
4443oveq1d 7431 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
459, 42mulcld 11264 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
464, 17subcld 11601 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
4746sqcld 14140 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
4837, 45, 47fsumsub 15766 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
4944, 48eqtr4d 2768 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))
5049oveq2d 7432 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
51 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
52 subcl 11489 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5351, 8, 52sylancr 585 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5445, 47subcld 11601 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) ∈ β„‚)
5537, 53, 54fsummulc2 15762 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5650, 55eqtrd 2765 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))))
5756oveq2d 7432 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
58 simprlr 778 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
5958ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
60 fveecn 28757 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6159, 60sylancom 586 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6261, 17subcld 11601 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
6362sqcld 14140 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) ∈ β„‚)
6451, 9, 52sylancr 585 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
6564, 54mulcld 11264 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2))) ∈ β„‚)
6637, 63, 65fsumadd 15718 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6757, 66eqtr4d 2768 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ (((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
6836, 40, 673eqtr4d 2775 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐴 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (𝐢 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝐷 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π΅β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑇) Β· (π΄β€˜π‘–)) + (𝑇 Β· (πΆβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((πΆβ€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((𝑇 Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (πΆβ€˜π‘—))↑2)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (π·β€˜π‘—))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  Ξ£csu 15664  π”Όcee 28743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-ee 28746
This theorem is referenced by:  ax5seg  28793
  Copyright terms: Public domain W3C validator