Theorem chndun 47707

Description: Chains in either of two alphabets are chains in their union. (Contributed by Ender Ting, 24-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chndun	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))

Proof of Theorem chndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4127	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
2		chndss 18706	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑅 Chain 𝐵) ⊆ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 Chain 𝐵) ⊆ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶))
4	3	sseli 3930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))
5		ssun2 4128	. . . 4 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
6		chndss 18706	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑅 Chain 𝐶) ⊆ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 Chain 𝐶) ⊆ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶))
8	7	sseli 3930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))
9	4, 8	jaoi 871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅 Chain 𝐶)) → 𝐴 ∈ (𝑅 Chain (𝐵 ∪ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   Chain cchn 18695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-chn 18696

This theorem is used by:  chndun2  47708