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Theorem cncfperiod 45149
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfperiod.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
cncfperiod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
cncfperiod.cssdmf (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
cncfperiod.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
cncfperiod.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
cncfperiod (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑀 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfperiod.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2 cncfperiod.cssdmf . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
31, 2fssresd 6751 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚)
4 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)))
54breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧))
65imbrov2fvoveq 7429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
76rexralbidv 3214 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
87ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
9 cncfperiod.fcn . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
11 cncfperiod.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 ssidd 4000 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
14 elcncf 24759 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))))
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))))
1610, 15mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
1716simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 cncfperiod.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
2018, 19eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
21 rabid 3446 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
2322simprd 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
24 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
25243ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
2611sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
27 cncfperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2827recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3026, 29pncand 11573 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
3130adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
32313adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
3325, 32eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
34 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3533, 34eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
3635rexlimdv3a 3153 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
3723, 36mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
388, 17, 37rspcdva 3607 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
3938adantrr 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
40 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
41 rspa 3239 . . . . 5 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
4239, 40, 41syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
43 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ πœ‘)
45 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
48 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
49 fvres 6903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5119ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐡 βŠ† β„‚
5251sseli 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5428adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
5553, 54npcand 11576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
5655eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
5756fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
58 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
5958, 37jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
60 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
6160anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
62 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
63 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
6462, 63eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
6561, 64imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
66 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
6766anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
68 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
69 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
7068, 69eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)))
7167, 70imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))))
72 cncfperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7371, 72chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
7465, 73vtoclg 3537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
7537, 59, 74sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7637fvresd 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7775, 76eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7850, 57, 773eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
79783adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
80 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑣 ∈ 𝐡))
8180anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)))
82 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))
83 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8482, 83eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8581, 84imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
8685, 78chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
87863adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8879, 87oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£)) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8988fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
9044, 47, 48, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
91 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
9222simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9451sseli 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝐡 β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
9654adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
9793, 95, 96nnncan2d 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑣))
9897fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
100 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
10199, 100eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
10244, 47, 48, 91, 101syl1111anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
103 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)))
104103fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))))
105104breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧))
106 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
107106oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘)) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
108107fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
109108breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
110105, 109imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)))
111 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
112 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (𝑣 βˆ’ 𝑇))
113112eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
11481, 113imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
115114, 37chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
11644, 48, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
117110, 111, 116rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
118102, 117mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)
11990, 118eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀)
120119ex 412 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
121120ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
1221213exp 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
123122reximdvai 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀)))
12442, 123mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
125124ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
12651a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
127 ssidd 4000 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
128 elcncf 24759 . . 3 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
129126, 127, 128syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
1303, 125, 129mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   < clt 11249   βˆ’ cmin 11445  β„+crp 12977  abscabs 15184  β€“cnβ†’ccncf 24746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-cncf 24748
This theorem is referenced by:  itgperiod  45251  fourierdlem81  45457
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