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Theorem cncfperiod 44210
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfperiod.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
cncfperiod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
cncfperiod.cssdmf (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
cncfperiod.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
cncfperiod.fcn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
cncfperiod (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑀 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfperiod.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2 cncfperiod.cssdmf . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
31, 2fssresd 6713 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚)
4 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)))
54breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧))
65imbrov2fvoveq 7386 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
76rexralbidv 3211 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
87ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
9 cncfperiod.fcn . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
109adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
11 cncfperiod.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 ssidd 3971 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
14 elcncf 24275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))))
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))))
1610, 15mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)))
1716simprd 497 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 cncfperiod.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
2018, 19eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
21 rabid 3426 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
2322simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
24 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
2611sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
27 cncfperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2827recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3026, 29pncand 11521 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
32313adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
3325, 32eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
34 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3533, 34eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
3635rexlimdv3a 3153 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
3723, 36mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
388, 17, 37rspcdva 3584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
3938adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
40 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
41 rspa 3230 . . . . 5 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
4239, 40, 41syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
43 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ πœ‘)
45 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
48 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
49 fvres 6865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
5119ssrab3 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐡 βŠ† β„‚
5251sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5428adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
5553, 54npcand 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = π‘₯)
5655eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
5756fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
58 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
5958, 37jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
60 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
6160anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
62 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
63 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
6462, 63eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
6561, 64imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))))
66 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
6766anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
68 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)))
69 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
7068, 69eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)))
7167, 70imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))))
72 cncfperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7371, 72chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
7465, 73vtoclg 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))))
7537, 59, 74sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7637fvresd 6866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7775, 76eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
7850, 57, 773eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
79783adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
80 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑣 ∈ 𝐡))
8180anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)))
82 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))
83 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8482, 83eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8581, 84imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
8685, 78chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
87863adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8879, 87oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£)) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8988fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
9044, 47, 48, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
91 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
9222simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9451sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝐡 β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
9594adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
9654adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
9793, 95, 96nnncan2d 11555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑣))
9897fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
100 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
10199, 100eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
10244, 47, 48, 91, 101syl1111anc 839 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
103 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)))
104103fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))))
105104breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧))
106 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
107106oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘)) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
108107fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
109108breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
110105, 109imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)))
111 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀))
112 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (𝑣 βˆ’ 𝑇))
113112eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
11481, 113imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
115114, 37chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
11644, 48, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
117110, 111, 116rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
118102, 117mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)
11990, 118eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀)
120119ex 414 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
121120ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
1221213exp 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
123122reximdvai 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀)))
12442, 123mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
125124ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))
12651a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
127 ssidd 3971 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
128 elcncf 24275 . . 3 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
129126, 127, 128syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑀))))
1303, 125, 129mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   + caddc 11062   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  abscabs 15128  β€“cnβ†’ccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  itgperiod  44312  fourierdlem81  44518
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