Theorem cncfperiod 45800

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfperiod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cncfperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
cncfperiod.cssdmf	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
cncfperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
cncfperiod.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfperiod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfperiod.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		cncfperiod.cssdmf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
3	1, 2	fssresd 6788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
4		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)))
5	4	breq1d 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
6	5	imbrov2fvoveq 7473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
7	6	rexralbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
8	7	ralbidv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
9		cncfperiod.fcn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncfperiod.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		ssidd 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ℂ ⊆ ℂ)
14		elcncf 24934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
16	10, 15	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
17	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		cncfperiod.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20	18, 19	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
21		rabid 3465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
23	22	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
24		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
26	11	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		cncfperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
28	27	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
30	26, 29	pncand 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
31	30	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
33	25, 32	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = 𝑦)
34		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
35	33, 34	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
36	35	rexlimdv3a 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
37	23, 36	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
38	8, 17, 37	rspcdva 3636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
39	38	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
40		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
41		rspa 3254	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
42	39, 40, 41	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
43		simpl1l 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝜑)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
45		simp1rl 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑣 ∈ 𝐵)
49		fvres 6939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
51	19	ssrab3 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
52	51	sseli 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
54	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
55	53, 54	npcand 11651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
56	55	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
57	56	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
58		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
59	58, 37	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
60		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
61	60	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
62		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
63		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
64	62, 63	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
65	61, 64	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))))
66		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
67	66	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
68		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
69		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
70	68, 69	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)))
71	67, 70	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))))
72		cncfperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
73	71, 72	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
74	65, 73	vtoclg 3566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
75	37, 59, 74	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
76	37	fvresd 6940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
77	75, 76	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
78	50, 57, 77	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
79	78	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
80		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵))
81	80	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)))
82		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))
83		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
84	82, 83	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
85	81, 84	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
86	85, 78	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
87	86	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
88	79, 87	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
89	88	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
90	44, 47, 48, 89	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
91		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
92	22	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
94	51	sseli 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ)
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
96	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
97	93, 95, 96	nnncan2d 11682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)) = (𝑥 − 𝑣))
98	97	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
100		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
101	99, 100	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
102	44, 47, 48, 91, 101	syl1111anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
103		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝑥 − 𝑇) − 𝑏) = ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)))
104	103	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))))
105	104	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧))
106		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
107	106	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
108	107	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
109	108	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
110	105, 109	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)))
111		simpll3 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
112		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 − 𝑇) = (𝑣 − 𝑇))
113	112	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴))
114	81, 113	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
115	114, 37	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
116	44, 48, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
117	110, 111, 116	rspcdva 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
118	102, 117	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)
119	90, 118	eqbrtrd 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)
120	119	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
121	120	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
122	121	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
123	122	reximdvai 3171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)))
124	42, 123	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
125	124	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
126	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
127		ssidd 4032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
128		elcncf 24934	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
129	126, 127, 128	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
130	3, 125, 129	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057  abscabs 15283  –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-cncf 24923

This theorem is referenced by:  itgperiod  45902  fourierdlem81  46108