cncfperiod - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem cncfperiod 45296

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cncfperiod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cncfperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
cncfperiod.cssdmf	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
cncfperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
cncfperiod.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

**Assertion**
Ref	Expression
cncfperiod	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfperiod.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		cncfperiod.cssdmf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
3	1, 2	fssresd 6769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
4		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)))
5	4	breq1d 5162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
6	5	imbrov2fvoveq 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
7	6	rexralbidv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
8	7	ralbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
9		cncfperiod.fcn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10	9	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncfperiod.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		ssidd 4005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ℂ ⊆ ℂ)
14		elcncf 24829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
15	12, 13, 14	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
16	10, 15	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
17	16	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑎) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
18		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		cncfperiod.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20	18, 19	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
21		rabid 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
22	20, 21	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
23	22	simprd 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
24		oveq1 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
25	24	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
26	11	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
27		cncfperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
28	27	recnd 11280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	28	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
30	26, 29	pncand 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
31	30	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
32	31	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
33	25, 32	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = 𝑦)
34		simp2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
35	33, 34	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
36	35	rexlimdv3a 3156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
37	23, 36	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
38	8, 17, 37	rspcdva 3612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
39	38	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
40		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
41		rspa 3243	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
42	39, 40, 41	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
43		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝜑)
44	43	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
45		simp1rl 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
47	46	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑣 ∈ 𝐵)
49		fvres 6921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
50	49	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
51	19	ssrab3 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
52	51	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℂ)
53	52	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
54	28	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
55	53, 54	npcand 11613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
56	55	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝑇) + 𝑇))
57	56	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
58		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
59	58, 37	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
60		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
61	60	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
62		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)))
63		fveq2 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
64	62, 63	eqeq12d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
65	61, 64	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑇) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))))
66		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
67	66	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
68		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
69		fveq2 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
70	68, 69	eqeq12d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)))
71	67, 70	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))))
72		cncfperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
73	71, 72	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
74	65, 73	vtoclg 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
75	37, 59, 74	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
76	37	fvresd 6922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
77	75, 76	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑥 − 𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
78	50, 57, 77	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
79	78	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)))
80		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵))
81	80	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)))
82		fveq2 6902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))
83		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
84	82, 83	eqeq12d 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
85	81, 84	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
86	85, 78	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
87	86	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
88	79, 87	oveq12d 7444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
89	88	fveq2d 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
90	44, 47, 48, 89	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
91		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
92	22	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
93	92	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
94	51	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ)
95	94	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
96	54	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
97	93, 95, 96	nnncan2d 11644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)) = (𝑥 − 𝑣))
98	97	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
99	98	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
100		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
101	99, 100	eqbrtrd 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
102	44, 47, 48, 91, 101	syl1111anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
103		oveq2 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝑥 − 𝑇) − 𝑏) = ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)))
104	103	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))))
105	104	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧))
106		fveq2 6902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))
107	106	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇))))
108	107	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))))
109	108	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
110	105, 109	imbi12d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)))
111		simpll3 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
112		oveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 − 𝑇) = (𝑣 − 𝑇))
113	112	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴))
114	81, 113	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
115	114, 37	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
116	44, 48, 115	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
117	110, 111, 116	rspcdva 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
118	102, 117	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)
119	90, 118	eqbrtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)
120	119	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
121	120	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
122	121	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
123	122	reximdvai 3162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘(𝑥 − 𝑇)) − ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)))
124	42, 123	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
125	124	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
126	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
127		ssidd 4005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
128		elcncf 24829	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
129	126, 127, 128	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
130	3, 125, 129	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ∀wral 3058 ∃wrex 3067 {crab 3430 ⊆ wss 3949 class class class wbr 5152 dom cdm 5682 ↾ cres 5684 ⟶wf 6549 ‘cfv 6553 (class class class)co 7426 ℂcc 11144 ℝcr 11145 + caddc 11149 < clt 11286 − cmin 11482 ℝ⁺crp 13014 abscabs 15221 –cn→ccncf 24816

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-map 8853 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-cncf 24818

This theorem is referenced by: itgperiod 45398 fourierdlem81 45604

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