Theorem dirkercncf 46853

Description: For any natural number 𝑁, the Dirichlet kernel (𝐷‘𝑁) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkercncf.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkercncf	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncf

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2	1	dirkerf 46843	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
3		ax-resscn 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℂ)
5	2, 4	fssd 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ)
7		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
8	7	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) = 0))
9		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤))
10	9	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)))
11		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 / 2) = (𝑤 / 2))
12	11	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
13	12	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
14	10, 13	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
15	8, 14	ifbieq2d 4517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
16	15	cbvmptv 5218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
17	16	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
18	1, 17	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
19		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 − π) = (𝑦 − π)
20		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 + π) = (𝑦 + π)
21		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
22		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
23		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	dirkercncflem3 46851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))
27	3	jctl 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
28	27	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
29		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30		tgioo4 24977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
31	29, 30	cnplimc 26061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))))
32	28, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))))
33	6, 26, 32	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
34	29	cnfldtop 24955	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
36	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
38		retopon 24935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
39	38	toponunii 23088	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
40	29	cnfldtopon 24954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
41	40	toponunii 23088	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
42	39, 41	cnprest2 23462	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
43	35, 36, 37, 42	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
44	33, 43	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦))
45	30	eqcomi 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
47	46	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,))))
48	47	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦) = (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
49	44, 48	eleqtrd 2868	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
50		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
51		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		neqne 2969	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
53	52	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
54		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(𝑦 / (2 · π))) = (⌊‘(𝑦 / (2 · π)))
55		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1)
56		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π))
57		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π))
58	18, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57	dirkercncflem4 46852	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
59	49, 58	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
60	59	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
61		cncnp 23452	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → ((𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))))
62	38, 38, 61	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦)))
63	2, 60, 62	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
64	29, 30, 30	cncfcn 25084	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
65	3, 3, 64	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
66	63, 65	eleqtrrdi 2877	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ifcif 4490   ↦ cmpt 5195  ran crn 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11451   / cdiv 11881  ℕcn 12243  2c2 12305  (,)cioo 13382  ⌊cfl 13834   mod cmo 13913  sincsin 16127  πcpi 16130   ↾_t crest 17483  TopOpenctopn 17484  topGenctg 17500  ℂ_fldccnfld 21537  Topctop 23065  TopOnctopon 23082   Cn ccn 23396   CnP ccnp 23397  –cn→ccncf 25050   lim_ℂ climc 26036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ioo 13386  df-ioc 13387  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-bc 14350  df-hash 14378  df-shft 15115  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-limsup 15533  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-ef 16131  df-sin 16133  df-cos 16134  df-pi 16136  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-mulg 19144  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-fbas 21534  df-fg 21535  df-cnfld 21538  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cld 23191  df-ntr 23192  df-cls 23193  df-nei 23270  df-lp 23308  df-perf 23309  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-t1 23486  df-haus 23487  df-cmp 23559  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-fil 24018  df-fm 24110  df-flim 24111  df-flf 24112  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-cncf 25052  df-limc 26040  df-dv 26041

This theorem is used by:  fourierdlem83  46935  fourierdlem95  46947  fourierdlem101  46953  fourierdlem103  46955  fourierdlem104  46956  fourierdlem111  46963  fourierdlem112  46964