Theorem dirkercncf 44338

Description: For any natural number 𝑁, the Dirichlet Kernel (𝐷‘𝑁) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirkercncf.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))

Assertion

Ref	Expression
dirkercncf	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncf

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2	1	dirkerf 44328	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
3		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℂ)
5	2, 4	fssd 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ)
7		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
8	7	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) = 0))
9		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤))
10	9	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)))
11		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 / 2) = (𝑤 / 2))
12	11	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
13	12	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
14	10, 13	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
15	8, 14	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
16	15	cbvmptv 5218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
17	16	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
18	1, 17	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
19		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 − π) = (𝑦 − π)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 + π) = (𝑦 + π)
21		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
23		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	dirkercncflem3 44336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))
27	3	jctl 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
28	27	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
29		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30	29	tgioo2 24166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
31	29, 30	cnplimc 25251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))))
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷‘𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑦))))
33	6, 26, 32	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
34	29	cnfldtop 24147	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
36	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
38		retopon 24127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
39	38	toponunii 22265	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
40	29	cnfldtopon 24146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
41	40	toponunii 22265	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
42	39, 41	cnprest2 22641	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
43	35, 36, 37, 42	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
44	33, 43	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦))
45	30	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
47	46	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,))))
48	47	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦) = (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
49	44, 48	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
50		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
51		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		neqne 2951	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
53	52	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
54		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(𝑦 / (2 · π))) = (⌊‘(𝑦 / (2 · π)))
55		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1)
56		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π))
57		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π))
58	18, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57	dirkercncflem4 44337	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
59	49, 58	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
60	59	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
61		cncnp 22631	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → ((𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))))
62	38, 38, 61	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦)))
63	2, 60, 62	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
64	29, 30, 30	cncfcn 24273	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
65	3, 3, 64	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
66	63, 65	eleqtrrdi 2849	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  (,)cioo 13264  ⌊cfl 13695   mod cmo 13774  sincsin 15946  πcpi 15949   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  –cn→ccncf 24239   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  fourierdlem83  44420  fourierdlem95  44432  fourierdlem101  44438  fourierdlem103  44440  fourierdlem104  44441  fourierdlem111  44448  fourierdlem112  44449