Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncf 43611
Description: For any natural number 𝑁, the Dirichlet Kernel (𝐷𝑁) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkercncf.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkercncf (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncf
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncf.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
21dirkerf 43601 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
3 ax-resscn 10921 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℂ)
52, 4fssd 6615 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ)
65ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ)
7 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
87eqeq1d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) = 0))
9 oveq2 7277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤))
109fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)))
11 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 / 2) = (𝑤 / 2))
1211fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
1312oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
1410, 13oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
158, 14ifbieq2d 4491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
1615cbvmptv 5192 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))))
1716mpteq2i 5184 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
181, 17eqtri 2768 . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑤 ∈ ℝ ↦ if((𝑤 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))))
19 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑦 − π) = (𝑦 − π)
20 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑦 + π) = (𝑦 + π)
21 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑤)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
22 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ((𝑦 − π)(,)(𝑦 + π)) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
23 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
25 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25dirkercncflem3 43609 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑦))
273jctl 524 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
2827ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
29 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3029tgioo2 23956 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3129, 30cnplimc 25041 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑦))))
3228, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ ∧ ((𝐷𝑁)‘𝑦) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑦))))
336, 26, 32mpbir2and 710 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
3429cnfldtop 23937 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
362ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
373a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
38 retopon 23917 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3938toponunii 22055 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
4029cnfldtopon 23936 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4140toponunii 22055 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4239, 41cnprest2 22431 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
4335, 36, 37, 42syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦)))
4433, 43mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦))
4530eqcomi 2749 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
4746oveq2d 7285 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → ((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,))))
4847fveq1d 6771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (((topGen‘ran (,)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑦) = (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
4944, 48eleqtrd 2843 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
50 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
51 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 neqne 2953 . . . . . . 7 (¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
5352adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
54 eqid 2740 . . . . . 6 (⌊‘(𝑦 / (2 · π))) = (⌊‘(𝑦 / (2 · π)))
55 eqid 2740 . . . . . 6 ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1)
56 eqid 2740 . . . . . 6 ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) · (2 · π))
57 eqid 2740 . . . . . 6 (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (((⌊‘(𝑦 / (2 · π))) + 1) · (2 · π))
5818, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57dirkercncflem4 43610 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0) → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
5949, 58pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
6059ralrimiva 3110 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))
61 cncnp 22421 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → ((𝐷𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦))))
6238, 38, 61mp2an 689 . . 3 ((𝐷𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ↔ ((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑦)))
632, 60, 62sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
6429, 30, 30cncfcn 24063 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
653, 3, 64mp2an 689 . 2 (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
6663, 65eleqtrrdi 2852 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  wss 3892  ifcif 4465  cmpt 5162  ran crn 5590  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  cc 10862  cr 10863  0cc0 10864  1c1 10865   + caddc 10867   · cmul 10869  cmin 11197   / cdiv 11624  cn 11965  2c2 12020  (,)cioo 13070  cfl 13500   mod cmo 13579  sincsin 15763  πcpi 15766  t crest 17121  TopOpenctopn 17122  topGenctg 17138  fldccnfld 20587  Topctop 22032  TopOnctopon 22049   Cn ccn 22365   CnP ccnp 22366  cnccncf 24029   lim climc 25016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-fi 9140  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ioo 13074  df-ioc 13075  df-ico 13076  df-icc 13077  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-fl 13502  df-mod 13580  df-seq 13712  df-exp 13773  df-fac 13978  df-bc 14007  df-hash 14035  df-shft 14768  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-limsup 15170  df-clim 15187  df-rlim 15188  df-sum 15388  df-ef 15767  df-sin 15769  df-cos 15770  df-pi 15772  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-hom 16976  df-cco 16977  df-rest 17123  df-topn 17124  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-topgen 17144  df-pt 17145  df-prds 17148  df-xrs 17203  df-qtop 17208  df-imas 17209  df-xps 17211  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-submnd 18421  df-mulg 18691  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-fbas 20584  df-fg 20585  df-cnfld 20588  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-cld 22160  df-ntr 22161  df-cls 22162  df-nei 22239  df-lp 22277  df-perf 22278  df-cn 22368  df-cnp 22369  df-t1 22455  df-haus 22456  df-cmp 22528  df-tx 22703  df-hmeo 22896  df-fil 22987  df-fm 23079  df-flim 23080  df-flf 23081  df-xms 23463  df-ms 23464  df-tms 23465  df-cncf 24031  df-limc 25020  df-dv 25021
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  43693  fourierdlem95  43705  fourierdlem101  43711  fourierdlem103  43713  fourierdlem104  43714  fourierdlem111  43721  fourierdlem112  43722
  Copyright terms: Public domain W3C validator