Theorem fouriercnp 44932

Description: If 𝐹 is continuous at the point 𝑋, then its Fourier series at 𝑋, converges to (𝐹‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fouriercnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercnp.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fouriercnp.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fouriercnp.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercnp.dmdv	⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fouriercnp.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fouriercnp.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fouriercnp.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fouriercnp.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fouriercnp.cnp	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋))
fouriercnp.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercnp.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fouriercnp	⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriercnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fouriercnp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fouriercnp.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fouriercnp.per	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fouriercnp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5		fouriercnp.dmdv	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fouriercnp.dvcn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fouriercnp.rlim	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fouriercnp.llim	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fouriercnp.cnp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋))
10		uniretop 24278	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
11		fouriercnp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12	11	unieqi 4921	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
13	10, 12	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
14	13	cnprcl 22748	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
15	9, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16		limcresi 25401	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝑋) ⊆ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
17		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18	17	tgioo2 24318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	11, 18	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
20	19	oveq2i 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 CnP 𝐽) = (𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
21	20	fveq1i 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋) = ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)
22	9, 21	eleqtrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋))
23	17	cnfldtop 24299	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
25		ax-resscn 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
27		unicntop 24301	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
28	13, 27	cnprest2 22793	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)))
29	24, 1, 26, 28	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)))
30	22, 29	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋))
31	17, 19	cnplimc 25403	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))))
32	25, 15, 31	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 limℂ 𝑋)))
34	33	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))
35	16, 34	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
36		limcresi 25401	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝑋) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
37	36, 34	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
38		fouriercnp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
39		fouriercnp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 35, 37, 38, 39	fourierd 44928	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑋)) / 2))
41	1, 15	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
43	42	2timesd 12454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑋)))
44	43	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑋)) = (2 · (𝐹‘𝑋)))
45	44	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑋)) / 2) = ((2 · (𝐹‘𝑋)) / 2))
46		2cnd 12289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
47		2ne0 12315	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
48	47	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
49	42, 46, 48	divcan3d 11994	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐹‘𝑋)) / 2) = (𝐹‘𝑋))
50	40, 45, 49	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   · cmul 11114  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  -cneg 11444   / cdiv 11870  ℕcn 12211  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  (,)cioo 13323  (,]cioc 13324  [,)cico 13325  Σcsu 15631  sincsin 16006  cosccos 16007  πcpi 16009   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  ℂ_fldccnfld 20943  Topctop 22394   CnP ccnp 22728  –cn→ccncf 24391  ∫citg 25134   lim_ℂ climc 25378   D cdv 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-t1 22817  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186  df-ditg 25363  df-limc 25382  df-dv 25383

This theorem is referenced by:  fouriercn  44938