Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercnp 45021
Description: If 𝐹 is continuous at the point 𝑋, then its Fourier series at 𝑋, converges to (πΉβ€˜π‘‹). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercnp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fouriercnp.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fouriercnp.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fouriercnp.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fouriercnp.dmdv (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
fouriercnp.dvcn (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
fouriercnp.rlim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fouriercnp.llim ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
fouriercnp.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
fouriercnp.cnp (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)β€˜π‘‹))
fouriercnp.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fouriercnp.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fouriercnp (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   𝑛,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘₯,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem fouriercnp
StepHypRef Expression
1 fouriercnp.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fouriercnp.t . . 3 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fouriercnp.per . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fouriercnp.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
5 fouriercnp.dmdv . . 3 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fouriercnp.dvcn . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
7 fouriercnp.rlim . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
8 fouriercnp.llim . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
9 fouriercnp.cnp . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)β€˜π‘‹))
10 uniretop 24286 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
11 fouriercnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
1211unieqi 4921 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1310, 12eqtr4i 2763 . . . . 5 ℝ = βˆͺ 𝐽
1413cnprcl 22756 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)β€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
159, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
16 limcresi 25409 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝑋) βŠ† ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1817tgioo2 24326 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
1911, 18eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2019oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (𝐽 CnP 𝐽) = (𝐽 CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
2120fveq1i 6892 . . . . . . . 8 ((𝐽 CnP 𝐽)β€˜π‘‹) = ((𝐽 CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘‹)
229, 21eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘‹))
2317cnfldtop 24307 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
25 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
27 unicntop 24309 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2813, 27cnprest2 22801 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘‹)))
2924, 1, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜π‘‹)))
3022, 29mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘‹))
3117, 19cnplimc 25411 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘‹) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))))
3225, 15, 31sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘‹) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋)))
3433simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))
3516, 34sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
36 limcresi 25409 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝑋) βŠ† ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)
3736, 34sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
38 fouriercnp.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
39 fouriercnp.b . . 3 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 35, 37, 38, 39fourierd 45017 . 2 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2))
411, 15ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
4241recnd 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
43422timesd 12457 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘‹)))
4443eqcomd 2738 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘‹)) = (2 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
4544oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) = ((2 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) / 2))
46 2cnd 12292 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
47 2ne0 12318 . . . 4 2 β‰  0
4847a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
4942, 46, 48divcan3d 11997 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) = (πΉβ€˜π‘‹))
5040, 45, 493eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  (,)cioo 13326  (,]cioc 13327  [,)cico 13328  Ξ£csu 15634  sincsin 16009  cosccos 16010  Ο€cpi 16012   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402   CnP ccnp 22736  β€“cnβ†’ccncf 24399  βˆ«citg 25142   limβ„‚ climc 25386   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-ditg 25371  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  fouriercn  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator