Theorem crctcshwlkn0lem1 29747

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29758. (Contributed by AV, 13-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		nncn 12201	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 11176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6		subsub 11459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) = ((𝐴 − 𝐵) + 1))
7	6	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 1) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) + 1) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
9		nnm1ge0 12609	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐵 − 1))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 − 1))
11		nnre 12200	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		peano2rem 11496	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
14		subge02 11701	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐵 − 1) ↔ (𝐴 − (𝐵 − 1)) ≤ 𝐴))
15	14	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐵 − 1)))
16	13, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐵 − 1)))
17	10, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) ≤ 𝐴)
18	8, 17	eqbrtrd 5132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) + 1) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem6  29752  crctcshwlkn0lem7  29753