crctcshwlkn0lem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem crctcshwlkn0lem6 29058

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29064. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

**Assertion**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝐽)) = {(𝑄‘𝐽)}, {(𝑄‘𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝐽))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐽 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝑃,𝑖 𝑆,𝑖 𝜑,𝑖 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑖) 𝑄(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥) 𝐻(𝑥,𝑖) 𝐼(𝑥) 𝐽(𝑖)

**Proof of Theorem crctcshwlkn0lem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
2		0p1e1 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = 1)
4		wkslem2 28854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ (𝑖 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
5	3, 4	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		elfzo1 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
9		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	8, 9	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
12		lbfzo0 13668	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
13	11, 12	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
14	5, 6, 13	rspcdva 3613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
15		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
16		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
17		sneq 4637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃‘𝑁)} = {(𝑃‘0)})
18	17	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}))
19		preq1 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
20	19	sseq1d 4012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	16, 18, 20	ifpbi123d 1078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0) → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
23	14, 22	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
24		nncn 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25		nncn 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℂ)
26		npcan 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
27	24, 25, 26	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
28		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
29		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod (♯‘𝐹)))
30		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
31	30	eqcomi 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
33	32	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod 𝑁))
34		nnrp 12981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
35		modid0 13858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ⁺ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
38	33, 37	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = 0)
39	29, 38	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
40		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
41	28, 39, 40	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
42	27, 41	mpdan 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
44	8, 43	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
45		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
46	45	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘𝑁))
47	46	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1)))
48		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
49	48	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘0))
50	49	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
51	46	sneqd 4639	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))} = {(𝑃‘𝑁)})
52	50, 51	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}))
53	46	preq1d 4742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)})
54	53, 50	sseq12d 4014	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
55	47, 52, 54	ifpbi123d 1078	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (if-((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
56	7, 44, 55	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
57	23, 56	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
58		nnsub 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
59	58	biimp3a 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
60	59	nnnn0d 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
61	8, 60	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
62	7, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
63		nn0fz0 13595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
64	62, 63	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
65		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
66	7, 65	crctcshwlkn0lem2 29054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)))
67	64, 66	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)))
68		elfzoel2 13627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		elfzoelz 13628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
70	68, 69	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
71	70	peano2zd 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ)
72		nnre 12215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
73	72	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
74	73	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
75		crctcshwlkn0lem1 29053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
77	76	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
78	8, 77	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
79	71, 68, 78	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
80	7, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
81		eluz2 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
82	80, 81	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)))
83		eluzfz1 13504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
85	7, 65	crctcshwlkn0lem3 29055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
86	84, 85	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
87		subcl 11455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℂ)
88	87	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℂ)
89		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
90		pncan2 11463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) − (𝑁 − 𝑆)) = 1)
91	90	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁 − 𝑆) + 1) − (𝑁 − 𝑆)))
92	88, 89, 91	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁 − 𝑆) + 1) − (𝑁 − 𝑆)))
93		peano2cn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℂ → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℂ)
94	88, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℂ)
95		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
96		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
97	94, 95, 96	subsub3d 11597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) − (𝑁 − 𝑆)) = ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁))
98	92, 97	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
99	25, 24, 98	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
100	99	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
101	8, 100	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
102	7, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
103	102	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘((((𝑁 − 𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘1))
104	86, 103	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
105		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
106	105	fveq1i 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁 − 𝑆))
107		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
108	107	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
109	69	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
110		elfzofz 13644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (1...𝑁))
111		ubmelfzo 13693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
113	112	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
114	31	oveq2i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
115	113, 114	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
116		cshwidxmod 14749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
117	108, 109, 115, 116	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
118	7, 117	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
119	106, 118	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
120		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)))
121		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
122	120, 121	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1)))
123		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
124	123	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
125	120	sneqd 4639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))} = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))})
126	124, 125	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}))
127	120, 121	preq12d 4744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)})
128	127, 124	sseq12d 4014	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ({(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) ↔ {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
129	122, 126, 128	ifpbi123d 1078	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
130	67, 104, 119, 129	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁 − 𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
131	57, 130	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
132	131	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
133		wkslem1 28853	. . 3 ⊢ (𝐽 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝐽)) = {(𝑄‘𝐽)}, {(𝑄‘𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
134	133	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝑁 − 𝑆)) → (if-((𝑄‘𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝐽)) = {(𝑄‘𝐽)}, {(𝑄‘𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
135	132, 134	mpbird 256	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝐽)) = {(𝑄‘𝐽)}, {(𝑄‘𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝐽))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 if-wif 1061 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3061 ⊆ wss 3947 ifcif 4527 {csn 4627 {cpr 4629 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 ℕcn 12208 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ℝ⁺crp 12970 ...cfz 13480 ..^cfzo 13623 mod cmo 13830 ♯chash 14286 Word cword 14460 cyclShift ccsh 14734

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-ifp 1062 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-hash 14287 df-word 14461 df-concat 14517 df-substr 14587 df-pfx 14617 df-csh 14735

This theorem is referenced by: crctcshwlkn0lem7 29059

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