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Theorem crctcshwlkn0lem6 28180
Description: Lemma for crctcshwlkn0 28186. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem6 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖)   𝑄(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem6
StepHypRef Expression
1 oveq1 7282 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
2 0p1e1 12095 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
31, 2eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = 1)
4 wkslem2 27975 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ (𝑖 + 1) = 1) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
53, 4mpdan 684 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
6 crctcshwlkn0lem.p . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
7 crctcshwlkn0lem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8 elfzo1 13437 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
9 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
12 lbfzo0 13427 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
1311, 12sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
145, 6, 13rspcdva 3562 . . . . . 6 (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
15 crctcshwlkn0lem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
16 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝑁) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
17 sneq 4571 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃𝑁)} = {(𝑃‘0)})
1817eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}))
19 preq1 4669 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
2019sseq1d 3952 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ({(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
2116, 18, 20ifpbi123d 1077 . . . . . . 7 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
2314, 22mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
24 nncn 11981 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25 nncn 11981 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℂ)
26 npcan 11230 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
2724, 25, 26syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
28 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
29 oveq1 7282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod (♯‘𝐹)))
30 crctcshwlkn0lem.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (♯‘𝐹)
3130eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘𝐹) = 𝑁
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3332oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod 𝑁))
34 nnrp 12741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
35 modid0 13617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3833, 37eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = 0)
3929, 38sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
40 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
4128, 39, 403jca 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
4227, 41mpdan 684 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
43423adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
448, 43sylbi 216 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
45 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
4645fveq2d 6778 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃𝑁))
4746eqeq1d 2740 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃‘1)))
48 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
4948fveq2d 6778 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘0))
5049fveq2d 6778 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
5146sneqd 4573 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))} = {(𝑃𝑁)})
5250, 51eqeq12d 2754 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}))
5346preq1d 4675 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)})
5453, 50sseq12d 3954 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
5547, 52, 54ifpbi123d 1077 . . . . . 6 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
567, 44, 553syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
5723, 56mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
58 nnsub 12017 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑆) ∈ ℕ))
5958biimp3a 1468 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ)
6059nnnn0d 12293 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
618, 60sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
627, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
63 nn0fz0 13354 . . . . . . 7 ((𝑁𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆)))
6462, 63sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆)))
65 crctcshwlkn0lem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
667, 65crctcshwlkn0lem2 28176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
6764, 66mpdan 684 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
68 elfzoel2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzoelz 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
7068, 69zsubcld 12431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
7170peano2zd 12429 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ)
72 nnre 11980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7372anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
7473ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
75 crctcshwlkn0lem1 28175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
77763adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
788, 77sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
7971, 68, 783jca 1127 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
807, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
81 eluz2 12588 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
8280, 81sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)))
83 eluzfz1 13263 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
857, 65crctcshwlkn0lem3 28177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
8684, 85mpdan 684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
87 subcl 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑁𝑆) ∈ ℂ)
8887ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑁𝑆) ∈ ℂ)
89 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
90 pncan2 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)) = 1)
9190eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)))
9288, 89, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)))
93 peano2cn 11147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑆) ∈ ℂ → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℂ)
9488, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℂ)
95 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
96 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
9794, 95, 96subsub3d 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)) = ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁))
9892, 97eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
9925, 24, 98syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
100993adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
1018, 100sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
1027, 101syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
103102fveq2d 6778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘1))
10486, 103eqtrd 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
105 crctcshwlkn0lem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
106105fveq1i 6775 . . . . . 6 (𝐻‘(𝑁𝑆)) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆))
107 crctcshwlkn0lem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
108107adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
10969adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
110 elfzofz 13403 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (1...𝑁))
111 ubmelfzo 13452 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
113112adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
11431oveq2i 7286 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
115113, 114eleqtrrdi 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
116 cshwidxmod 14516 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
117108, 109, 115, 116syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
1187, 117mpdan 684 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
119106, 118eqtrid 2790 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
120 simp1 1135 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
121 simp2 1136 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
122120, 121eqeq12d 2754 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1)))
123 simp3 1137 . . . . . . . 8 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
124123fveq2d 6778 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
125120sneqd 4573 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁𝑆))} = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))})
126124, 125eqeq12d 2754 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}))
127120, 121preq12d 4677 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)})
128127, 124sseq12d 3954 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ({(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) ↔ {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
129122, 126, 128ifpbi123d 1077 . . . . 5 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
13067, 104, 119, 129syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
13157, 130mpbird 256 . . 3 (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))))
132131adantr 481 . 2 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))))
133 wkslem1 27974 . . 3 (𝐽 = (𝑁𝑆) → (if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))))))
134133adantl 482 . 2 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → (if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))))))
135132, 134mpbird 256 1 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  if-wif 1060  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382   mod cmo 13589  chash 14044  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-csh 14502
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  28181
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