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Theorem crctcshwlkn0lem6 29835
Description: Lemma for crctcshwlkn0 29841. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem6 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖)   𝑄(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem6
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
2 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = 1)
4 wkslem2 29626 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ (𝑖 + 1) = 1) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
53, 4mpdan 687 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
6 crctcshwlkn0lem.p . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
7 crctcshwlkn0lem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8 elfzo1 13752 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
9 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
12 lbfzo0 13739 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
1311, 12sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
145, 6, 13rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
15 crctcshwlkn0lem.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
16 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝑃𝑁) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
17 sneq 4636 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃𝑁)} = {(𝑃‘0)})
1817eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}))
19 preq1 4733 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
2019sseq1d 4015 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → ({(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
2116, 18, 20ifpbi123d 1079 . . . . . . 7 ((𝑃𝑁) = (𝑃‘0) → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
2314, 22mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
24 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
25 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℂ)
26 npcan 11517 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
2724, 25, 26syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
28 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
29 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod (♯‘𝐹)))
30 crctcshwlkn0lem.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (♯‘𝐹)
3130eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘𝐹) = 𝑁
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3332oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = (𝑁 mod 𝑁))
34 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
35 modid0 13937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
3833, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝐹)) = 0)
3929, 38sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
40 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
4128, 39, 403jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
4227, 41mpdan 687 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
43423adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
448, 43sylbi 217 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)))
45 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁)
4645fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃𝑁))
4746eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃‘1)))
48 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0)
4948fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘0))
5049fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
5146sneqd 4638 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))} = {(𝑃𝑁)})
5250, 51eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}))
5346preq1d 4739 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)})
5453, 50sseq12d 4017 . . . . . . 7 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
5547, 52, 54ifpbi123d 1079 . . . . . 6 ((((𝑁𝑆) + 𝑆) = 𝑁 ∧ (((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
567, 44, 553syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))) ↔ if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
5723, 56mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
58 nnsub 12310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑆) ∈ ℕ))
5958biimp3a 1471 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ)
6059nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
618, 60sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
627, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℕ0)
63 nn0fz0 13665 . . . . . . 7 ((𝑁𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆)))
6462, 63sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆)))
65 crctcshwlkn0lem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
667, 65crctcshwlkn0lem2 29831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑆) ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
6764, 66mpdan 687 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
68 elfzoel2 13698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
7068, 69zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
7170peano2zd 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ)
72 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7372anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
7473ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
75 crctcshwlkn0lem1 29830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
77763adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
788, 77sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
7971, 68, 783jca 1129 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
807, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
81 eluz2 12884 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
8280, 81sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)))
83 eluzfz1 13571 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝑆) + 1)) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁))
857, 65crctcshwlkn0lem3 29832 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
8684, 85mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
87 subcl 11507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑁𝑆) ∈ ℂ)
8887ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑁𝑆) ∈ ℂ)
89 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
90 pncan2 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)) = 1)
9190eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁𝑆) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)))
9288, 89, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 1 = (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)))
93 peano2cn 11433 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑆) ∈ ℂ → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℂ)
9488, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℂ)
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
96 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
9794, 95, 96subsub3d 11650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝑁𝑆) + 1) − (𝑁𝑆)) = ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁))
9892, 97eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
9925, 24, 98syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
100993adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
1018, 100sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
1027, 101syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁) = 1)
103102fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘((((𝑁𝑆) + 1) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘1))
10486, 103eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
105 crctcshwlkn0lem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
106105fveq1i 6907 . . . . . 6 (𝐻‘(𝑁𝑆)) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆))
107 crctcshwlkn0lem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝐴)
108107adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
10969adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
110 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (1...𝑁))
111 ubmelfzo 13769 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
113112adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^𝑁))
11431oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
115113, 114eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑁𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
116 cshwidxmod 14841 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝐴𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
117108, 109, 115, 116syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
1187, 117mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
119106, 118eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
120 simp1 1137 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)))
121 simp2 1138 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1))
122120, 121eqeq12d 2753 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1)))
123 simp3 1139 . . . . . . . 8 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
124123fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
125120sneqd 4638 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁𝑆))} = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))})
126124, 125eqeq12d 2753 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ((𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}))
127120, 121preq12d 4741 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)})
128127, 124sseq12d 4017 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → ({(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) ↔ {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))))
129122, 126, 128ifpbi123d 1079 . . . . 5 (((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) ∧ (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)) = (𝑃‘1) ∧ (𝐻‘(𝑁𝑆)) = (𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) → (if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
13067, 104, 119, 129syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))) ↔ if-((𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))) = {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆))}, {(𝑃‘((𝑁𝑆) + 𝑆)), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(((𝑁𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))))
13157, 130mpbird 257 . . 3 (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))))
132131adantr 480 . 2 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆)))))
133 wkslem1 29625 . . 3 (𝐽 = (𝑁𝑆) → (if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))))))
134133adantl 481 . 2 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → (if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁𝑆)) = (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁𝑆)), (𝑄‘((𝑁𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁𝑆))))))
135132, 134mpbird 257 1 ((𝜑𝐽 = (𝑁𝑆)) → if-((𝑄𝐽) = (𝑄‘(𝐽 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝐽)) = {(𝑄𝐽)}, {(𝑄𝐽), (𝑄‘(𝐽 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  if-wif 1063  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  29836
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