Theorem crctcshwlkn0lem2 27762

Description: Lemma for crctcshwlkn0 27772. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5043	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7206	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7205	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4452	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		fzo0ss1 13171	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
9	8	sseli 3883	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoel2 13141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		elfzonn0 13186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
12		eluzmn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
14		fzss2 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
16	15	sseld 3886	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
17	7, 9, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
18	17	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
19		fvex 6700	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
20		fvex 6700	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
21	19, 20	ifex 4474	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
23	1, 6, 18, 22	fvmptd3 6811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
24		elfzle2 13015	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
25	24	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
26	25	iftrued 4432	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
27	23, 26	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  ifcif 4424   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   ≤ cle 10767   − cmin 10961  ℕ₀cn0 11989  ℤcz 12075  ℤ_≥cuz 12337  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  27764  crctcshwlkn0lem6  27766