Theorem crctcshwlkn0lem2 27591

Description: Lemma for crctcshwlkn0 27601. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5071	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7181	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7180	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4496	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		fzo0ss1 13070	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
9	8	sseli 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoel2 13040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		elfzonn0 13085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
12		eluzmn 12253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
14		fzss2 12950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
16	15	sseld 3968	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
17	7, 9, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
18	17	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
19		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
20		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
21	19, 20	ifex 4517	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
23	1, 6, 18, 22	fvmptd3 6793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
24		elfzle2 12914	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
25	24	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
26	25	iftrued 4477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
27	23, 26	eqtrd 2858	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  27593  crctcshwlkn0lem6  27595