Theorem crctcshwlkn0lem2 27597

Description: Lemma for crctcshwlkn0 27607. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5033	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7157	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4452	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		fzo0ss1 13062	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
9	8	sseli 3911	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoel2 13032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		elfzonn0 13077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
12		eluzmn 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
14		fzss2 12942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
16	15	sseld 3914	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
17	7, 9, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
18	17	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
19		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
20		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
21	19, 20	ifex 4473	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
23	1, 6, 18, 22	fvmptd3 6768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
24		elfzle2 12906	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
25	24	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
26	25	iftrued 4433	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
27	23, 26	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0lem6  27601