MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlkn0lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshwlkn0lem2 28176
Description: Lemma for crctcshwlkn0 28186. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2 breq1 5077 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
3 fvoveq1 7298 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4 oveq1 7282 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
54fvoveq1d 7297 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
62, 3, 5ifbieq12d 4487 . . 3 (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7 crctcshwlkn0lem.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8 fzo0ss1 13417 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
98sseli 3917 . . . . 5 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoel2 13386 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 elfzonn0 13432 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
12 eluzmn 12589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)))
14 fzss2 13296 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝑆)) → (0...(𝑁𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
1615sseld 3920 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
177, 9, 163syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
1817imp 407 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
19 fvex 6787 . . . . 5 (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
20 fvex 6787 . . . . 5 (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
2119, 20ifex 4509 . . . 4 if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
231, 6, 18, 22fvmptd3 6898 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
24 elfzle2 13260 . . . 4 (𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
2524adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
2625iftrued 4467 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
2723, 26eqtrd 2778 1 ((𝜑𝐽 ∈ (0...(𝑁𝑆))) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  cle 11010  cmin 11205  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  28178  crctcshwlkn0lem6  28180
  Copyright terms: Public domain W3C validator