Theorem crctcshwlkn0lem2 29896

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29906. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
2		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
3		fvoveq1 7391	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
4		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
5	4	fvoveq1d 7390	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
6	2, 3, 5	ifbieq12d 4510	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
7		crctcshwlkn0lem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
8		fzo0ss1 13617	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
9	8	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoel2 13586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		elfzonn0 13635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
12		eluzmn 12770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
14		fzss2 13492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (0...(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0...𝑁))
16	15	sseld 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
17	7, 9, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁)))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
19		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
20		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
21	19, 20	ifex 4532	. . . 4 ⊢ if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
23	1, 6, 18, 22	fvmptd3 6973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
24		elfzle2 13456	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → 𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆))
26	25	iftrued 4489	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → if(𝐽 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
27	23, 26	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝐽) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem4  29898  crctcshwlkn0lem6  29900